Модель турбулентности k-ε

Модель турбулентности k-ε — это полуэмпирическая двухпараметрическая модель турбулентности, основанная на решении двух транспортных уравнений: для кинетической энергии турбулентности (k) и скорости диссипации турбулентной энергии (ε). Модель является одной из наиболее распространённых в вычислительной гидродинамике (CFD) для инженерных расчётов турбулентных течений.

История и развитие

Модель k-ε была разработана в 1970-х годах группой учёных под руководством Брайана Лаундера (Imperial College London). В 1972 году У. П. Джонс и Б. Лаундер опубликовали первую версию модели, основанную на гипотезе Буссинеска о турбулентной вязкости. В 1974 году они же предложили стандартную форму с эмпирическими константами, которая стала основой для последующих модификаций.

В 1980-х годах В. Я. Яхот, С. А. Орзаг и другие исследователи разработали RNG-версию (Renormalization Group) модели, использующую методы ренормализационной группы для уточнения констант. В 1990-х годах Т. Х. Ши, В. В. Ли, Б. С. Ша и другие предложили реализуемую (realizable) версию, исправляющую некоторые недостатки стандартной модели, связанные с завышением турбулентной вязкости.

Физические основы

Модель k-ε относится к классу моделей турбулентной вязкости (эдди-вязкости). В её основе лежит гипотеза Буссинеска, согласно которой турбулентные напряжения пропорциональны средним градиентам скорости, а коэффициент пропорциональности — турбулентная вязкость ν_t — определяется через k и ε:

ν_t = C_μ * k² / ε

где C_μ — эмпирическая константа.

Уравнение для кинетической энергии турбулентности (k)

∂(ρk)/∂t + ∂(ρu_j k)/∂x_j = ∂/∂x_j [(μ + μ_t/σ_k) ∂k/∂x_j] + P_k — ρε

где:

• ρ — плотность жидкости
• u_j — компоненты скорости
• μ — молекулярная вязкость
• μ_t — турбулентная вязкость
• σ_k — турбулентное число Прандтля для k
• P_k — продукция турбулентной энергии за счёт сдвига

Уравнение для скорости диссипации (ε)

∂(ρε)/∂t + ∂(ρu_j ε)/∂x_j = ∂/∂x_j [(μ + μ_t/σ_ε) ∂ε/∂x_j] + C_ε1 (ε/k) P_k — C_ε2 ρ ε²/k

где σ_ε, C_ε1, C_ε2 — эмпирические константы.

Стандартные константы модели

В стандартной версии модели (Jones, Launder, 1974) используются следующие значения констант:

Эти константы были определены на основе экспериментов для однородных сдвиговых течений и затухающей изотропной турбулентности.

Основные модификации

RNG k-ε модель

Модель, основанная на теории ренормализационной группы (Yakhot, Orszag, 1986), отличается:

• Дополнительным членом в уравнении для ε, учитывающим влияние сдвига
• Аналитически выведенными константами (C_μ = 0,0845)
• Улучшенной точностью для течений с сильным искривлением линий тока и отрывом

Реализуемая k-ε модель

Модель (Shih et al., 1995) модифицирует уравнение для ε и вводит переменную C_μ, зависящую от поля скорости. Это обеспечивает:

• Физическую реализуемость (неотрицательность турбулентных напряжений)
• Лучшую точность для струйных течений, вращающихся потоков и пограничных слоёв с большим градиентом давления

Низкорейнольдсовые версии

Стандартная модель k-ε использует пристеночные функции для обработки вязкого подслоя. Низкорейнольдсовые модификации (например, модели Лаундера-Шарма, Чиена) вводят демпфирующие функции, позволяющие решать уравнения вплоть до стенки без использования пристеночных функций.

Применение

Модель k-ε широко применяется в инженерных расчётах для:

• Аэродинамика: обтекание автомобилей, самолётов, зданий
• Энергетика: расчёт потоков в турбинах, теплообменниках, котлах
• Вентиляция и кондиционирование: моделирование воздушных потоков в помещениях
• Химическая технология: перемешивание в реакторах, течение в трубопроводах
• Гидротехника: расчёт потоков в каналах и водосбросах

Модель реализована во всех основных коммерческих и открытых CFD-пакетах: ANSYS Fluent, OpenFOAM, STAR-CCM+, COMSOL Multiphysics, CFX, FlowVision (разработка — российская компания «ТЕСИС»).

Ограничения

Модель k-ε имеет ряд известных недостатков:

• Пристеночные течения: стандартная версия требует использования пристеночных функций, которые могут давать ошибки при сильных градиентах давления или отрыве потока
• Слабый сдвиг: модель завышает турбулентную вязкость в областях с малым сдвигом (например, в ядре трубы)
• Закрученные потоки: плохо предсказывает течения с сильной закруткой (например, циклонные сепараторы)
• Струйные течения: завышает скорость распространения плоских и круглых струй
• Неравновесные течения: модель основана на предположении о локальном равновесии продукции и диссипации, что не выполняется в сильно неравновесных потоках

Сравнение с другими моделями

Реализация в программном обеспечении

В России модель k-ε используется в отечественных CFD-пакетах:

• FlowVision (разработчик — ООО «ТЕСИС», Москва) — реализованы стандартная, RNG и реализуемая версии
• Логос (разработчик — РФЯЦ-ВНИИЭФ, Саров) — включает стандартную и низкорейнольдсовую модификации
• OpenFOAM (свободное ПО) — содержит реализации всех основных версий

Интересные факты

• Модель k-ε является одной из первых двухпараметрических моделей турбулентности, получивших широкое практическое применение
• В 2019 году группа исследователей из МГУ имени М. В. Ломоносова предложила модификацию модели для расчёта течений с теплообменом при сверхкритических давлениях
• Константа C_μ = 0,09 была получена из анализа равновесных турбулентных пограничных слоёв и соответствует отношению турбулентных напряжений к кинетической энергии турбулентности в логарифмической области

Источники

1. Jones, W. P., Launder, B. E. (1972). The prediction of laminarization with a two-equation model of turbulence. International Journal of Heat and Mass Transfer, 15(2), 301-314.
2. Launder, B. E., Spalding, D. B. (1974). The numerical computation of turbulent flows. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 3(2), 269-289.
3. Yakhot, V., Orszag, S. A. (1986). Renormalization group analysis of turbulence. I. Basic theory. Journal of Scientific Computing, 1(1), 3-51.
4. Shih, T. H., Liou, W. W., Shabbir, A., Yang, Z., Zhu, J. (1995). A new k-ε eddy viscosity model for high Reynolds number turbulent flows. Computers & Fluids, 24(3), 227-238.
5. Wilcox, D. C. (2006). Turbulence Modeling for CFD (3rd ed.). DCW Industries.
6. Pope, S. B. (2000). Turbulent Flows. Cambridge University Press.