Модель турбулентности k-ω SST

Модель турбулентности k-ω SST (от англ. Shear Stress Transport — перенос сдвиговых напряжений) — это полуэмпирическая двухпараметрическая модель турбулентности, основанная на уравнениях переноса для кинетической энергии турбулентности (k) и удельной скорости диссипации (ω). Модель была разработана Флорианом Ментером в 1994 году как гибридный подход, объединяющий преимущества стандартной модели k-ω (Уилкокса) в пристеночной области и модели k-ε вдали от стенок, что обеспечивает точное описание турбулентных течений с отрывами пограничного слоя, градиентами давления и сложной геометрией.

История создания

В 1980-е годы широкое распространение получили две основные двухпараметрические модели турбулентности: k-ε (Лаундер и Сполдинг, 1974) и k-ω (Уилкокс, 1988). Модель k-ε хорошо работала в свободных сдвиговых течениях и отрывных зонах, но требовала специальных пристеночных функций для корректного описания вязкого подслоя. Модель k-ω, напротив, демонстрировала высокую точность в пристеночной области без дополнительных демпфирующих функций, но была чувствительна к заданию граничных условий для ω на внешней границе пограничного слоя.

Флориан Ментер (NASA Ames Research Center) предложил в 1994 году модель, которая комбинирует сильные стороны обоих подходов. Основная идея заключалась в использовании функции переключения (blending function), которая активирует модель k-ω вблизи стенок и модель k-ε вдали от них. Для этого уравнения модели k-ε были преобразованы в формализм k-ω, что позволило плавно переходить между двумя режимами. Модель получила название SST (Shear Stress Transport) из-за дополнительного ограничения турбулентной вязкости, учитывающего перенос сдвиговых напряжений в пограничном слое.

Уравнения модели

Модель k-ω SST решает два уравнения переноса:

1. Уравнение для кинетической энергии турбулентности (k):

\[ \frac{\partial (\rho k)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u_j k)}{\partial x_j} = P_k - \beta^* \rho k \omega + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ (\mu + \sigma_k \mu_t) \frac{\partial k}{\partial x_j} \right] \]

1. Уравнение для удельной скорости диссипации (ω):

\[ \frac{\partial (\rho \omega)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u_j \omega)}{\partial x_j} = \alpha \frac{P_k}{\nu_t} - \beta \rho \omega^2 + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ (\mu + \sigma_\omega \mu_t) \frac{\partial \omega}{\partial x_j} \right] + 2(1-F_1) \rho \sigma_{\omega 2} \frac{1}{\omega} \frac{\partial k}{\partial x_j} \frac{\partial \omega}{\partial x_j} \]

где:

• ρ — плотность,
• u_j — компоненты скорости,
• P_k — производство турбулентной кинетической энергии,
• μ — молекулярная вязкость,
• μ_t — турбулентная вязкость,
• ν_t = μ_t/ρ — турбулентная кинематическая вязкость,
• β*, β, σ_k, σ_ω, α — константы модели,
• F_1 — функция переключения.

Функция переключения F₁

Функция F₁ изменяется от 1 (вблизи стенки) до 0 (вдали от стенки) и определяется по формуле: \[ F_1 = \tanh(\arg_1^4) \] \[ \arg_1 = \min\left( \max\left( \frac{\sqrt{k}}{0.09 \omega y}, \frac{500 \nu}{y^2 \omega} \right), \frac{4 \rho \sigma_{\omega 2} k}{CD_{k\omega} y^2} \right) \] где y — расстояние до стенки, ν — кинематическая вязкость, CD_{kω} — положительная часть кросс-диффузионного члена.

Ограничение турбулентной вязкости

Для учета переноса сдвиговых напряжений в пограничном слое турбулентная вязкость ограничивается: \[ \mu_t = \frac{\rho a_1 k}{\max(a_1 \omega, F_2 S)} \] где a_1 = 0.31, S — инвариант тензора скоростей деформации, F_2 — вторая функция переключения: \[ F_2 = \tanh(\arg_2^2) \] \[ \arg_2 = \max\left( 2 \frac{\sqrt{k}}{0.09 \omega y}, \frac{500 \nu}{y^2 \omega} \right) \]

Это ограничение предотвращает завышение турбулентной вязкости в областях с большими градиентами скорости, что характерно для отрывных течений.

Константы модели

Модель использует два набора констант: для k-ω-режима (индекс 1) и для k-ε-режима (индекс 2). Итоговые константы вычисляются как линейная комбинация: \[ \phi = F_1 \phi_1 + (1-F_1) \phi_2 \]

Преимущества и недостатки

Преимущества

• Высокая точность в пристеночных течениях: Модель корректно описывает вязкий подслой и логарифмический слой без использования пристеночных функций, что делает её пригодной для сеток с y+ ≈ 1.
• Устойчивость к отрывам пограничного слоя: Благодаря ограничению турбулентной вязкости модель SST значительно точнее предсказывает начало и размер отрывных зон по сравнению с стандартной k-ω или k-ε.
• Универсальность: Модель применима как для внутренних, так и для внешних течений, включая аэродинамику профилей, лопаток турбомашин, диффузоров и сопел.
• Хорошая сходимость: Модель менее чувствительна к начальным условиям и качеству сетки, чем, например, модель k-ω Уилкокса.

Недостатки

• Чувствительность к качеству сетки: Для корректного разрешения пристеночной области требуется сетка с y+ < 1, что увеличивает вычислительные затраты для высокоскоростных течений.
• Ограниченная точность для сильно закрученных течений: Модель SST, как и большинство двухпараметрических моделей, плохо описывает течения с интенсивной закруткой и вторичными течениями.
• Необходимость модификаций для сжимаемых течений: При числах Маха > 0.3 требуется введение поправок на сжимаемость.
• Эмпирические константы: Константы модели подобраны для ограниченного класса течений и могут требовать калибровки для специфических задач.

Применение

Модель k-ω SST широко используется в вычислительной гидродинамике (CFD) для решения широкого круга инженерных задач:

• Аэродинамика летательных аппаратов: Расчёт обтекания крыльев, фюзеляжей, мотогондол, оперения. Модель SST является стандартом для анализа отрывных течений на профилях, включая предсказание срывных характеристик.
• Турбомашины: Моделирование течения в компрессорах, турбинах, насосах и вентиляторах. Модель SST позволяет точно предсказывать потери на трение, отрыв потока на лопатках и теплопередачу.
• Автомобильная аэродинамика: Расчёт аэродинамического сопротивления, подъёмной силы и обтекания сложных форм кузова, включая зеркала, колёса и днище.
• Ветроэнергетика: Моделирование обтекания лопастей ветрогенераторов, включая работу на предельных углах атаки.
• Гидродинамика: Расчёт течений в трубах, каналах, диффузорах, а также обтекания подводных аппаратов и гребных винтов.
• Теплообмен: Моделирование конвективного теплообмена в турбулентных потоках, включая задачи охлаждения лопаток турбин и теплообменников.

Модификации

За время существования модели было предложено несколько модификаций, направленных на улучшение её точности в специфических условиях:

• SST-SAS (Scale-Adaptive Simulation) — расширение модели SST, которое позволяет модели переходить в режим крупных вихрей (LES) в областях с нестационарным течением, сохраняя RANS-подход в пристеночной зоне.
• SST-DDES (Delayed Detached Eddy Simulation) — гибридная модель, объединяющая SST с методом моделирования отсоединённых вихрей (DES) для более точного описания отрывных течений с крупномасштабными вихревыми структурами.
• SST-γ-Reθ — модель SST с дополнительными уравнениями для перехода ламинарно-турбулентного перехода, позволяющая предсказывать начало турбулентности на гладких поверхностях.
• SST с поправкой на кривизну линий тока — модификация, учитывающая влияние центробежных сил на турбулентность в закрученных течениях.

Реализация в программных пакетах

Модель k-ω SST входит в стандартную поставку большинства коммерческих и открытых CFD-пакетов, включая ANSYS Fluent, ANSYS CFX, STAR-CCM+, OpenFOAM, COMSOL Multiphysics, SU2 и Code_Saturne. В каждом пакете реализация может незначительно отличаться в деталях (например, в способе дискретизации кросс-диффузионного члена), но общая математическая постановка соответствует оригинальной работе Ментера.

Источники

1. Menter, F. R. (1994). Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications. AIAA Journal, 32(8), 1598–1605.
2. Menter, F. R., Kuntz, M., & Langtry, R. (2003). Ten years of industrial experience with the SST turbulence model. Turbulence, Heat and Mass Transfer, 4, 625–632.
3. Wilcox, D. C. (2006). Turbulence Modeling for CFD (3rd ed.). DCW Industries.
4. Pope, S. B. (2000). Turbulent Flows. Cambridge University Press.
5. ANSYS Fluent Theory Guide (2021). ANSYS, Inc.