Неевклидова геометрия

Неевклидова геометрия — это общее название для геометрических систем, которые отличаются от евклидовой геометрии, основанной на аксиомах, изложенных в «Началах» Евклида (ок. 300 г. до н. э.). Основное отличие заключается в замене или отрицании пятого постулата Евклида (постулата о параллельных), который в классической формулировке утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Неевклидовы геометрии возникают при принятии альтернативных аксиом о параллельности, что приводит к пространствам с ненулевой кривизной.

История открытия

Проблема пятого постулата

На протяжении более двух тысяч лет математики пытались доказать пятый постулат Евклида как теорему, исходя из остальных аксиом. Многие считали его менее очевидным, чем остальные постулаты. Попытки доказательства предпринимали такие учёные, как Прокл, Омар Хайям, Насир ад-Дин Туси, Джованни Саккери, Иоганн Ламберт и Адриен Лежандр. В ходе этих попыток исследователи неосознанно приходили к выводам, которые противоречили интуиции, но не содержали логических противоречий, что закладывало основы для будущих неевклидовых систем.

Независимое открытие

В первой половине XIX века сразу несколько математиков независимо друг от друга пришли к созданию последовательных неевклидовых геометрий. Ключевыми фигурами являются:

• Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) — немецкий математик. Гаусс, по-видимому, разработал основы неевклидовой геометрии ещё в 1810-х годах, но не публиковал свои результаты, опасаясь непонимания и споров с консервативными коллегами. Его идеи стали известны лишь после публикации его переписки.
• Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) — русский математик, ректор Казанского университета. В 1826 году он представил доклад «Сжатое изложение начал геометрии», в котором изложил основы новой геометрии, названной им «воображаемой». В 1829 году он опубликовал работу «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник». Это была первая в мире публикация, содержащая систематическое изложение неевклидовой геометрии. Лобачевский построил геометрию, в которой через точку вне прямой можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих данную.
• Янош Бойяи (1802–1860) — венгерский математик. В 1832 году он опубликовал своё исследование «Аппендикс» (приложение к книге своего отца), в котором независимо от Лобачевского пришёл к тем же результатам. Его работа была высоко оценена Гауссом.

Признание

Первоначально работы Лобачевского и Бойяи не встретили понимания. Идеи неевклидовой геометрии казались абсурдными, противоречащими наглядным представлениям. Широкое признание пришло лишь во второй половине XIX века, когда:

• Бернхард Риман (1826–1866) в 1854 году прочитал лекцию «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», где предложил общий подход к изучению пространств произвольной кривизны (риманова геометрия), включив в него как частные случаи евклидову, гиперболическую и эллиптическую геометрии.
• Эудженио Бельтрами (1835–1900) в 1868 году опубликовал работу, в которой показал, что геометрия Лобачевского реализуется на псевдосфере — поверхности постоянной отрицательной кривизны. Это дало наглядную модель неевклидовой геометрии.
• Феликс Клейн (1849–1925) разработал проективные модели для гиперболической и эллиптической геометрий (модель Клейна, модель Пуанкаре).

Основные виды неевклидовой геометрии

Различают два основных типа неевклидовой геометрии, а также их обобщения.

Гиперболическая геометрия (геометрия Лобачевского)

В гиперболической геометрии пятый постулат Евклида заменяется следующим: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих данную. В такой геометрии:

• Кривизна пространства постоянна и отрицательна.
• Сумма углов треугольника меньше 180° (π радиан). Разность между 180° и суммой углов треугольника пропорциональна его площади.
• Отношение длины окружности к радиусу больше 2π и растёт с увеличением радиуса.
• Площадь круга растёт быстрее, чем в евклидовой геометрии.
• Существуют параллельные прямые, которые расходятся в обе стороны (сверхпараллельные) и прямые, сходящиеся в одном направлении (асимптотически параллельные).

Модели гиперболической геометрии:

• Модель Пуанкаре в круге: вся бесконечная гиперболическая плоскость отображается внутрь круга. Прямые — это дуги окружностей, перпендикулярных границе круга, или диаметры круга.
• Модель Клейна (проективная модель): плоскость — внутренность круга, прямые — хорды этого круга.
• Псевдосфера: поверхность вращения трактрисы, на которой локально выполняется геометрия Лобачевского (но не глобально, так как псевдосфера имеет край).

Эллиптическая геометрия (геометрия Римана)

В эллиптической геометрии пятый постулат заменяется утверждением: через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной (все прямые пересекаются). В этой геометрии:

• Кривизна пространства постоянна и положительна.
• Сумма углов треугольника больше 180°.
• Отношение длины окружности к радиусу меньше 2π.
• Прямая является замкнутой линией (как большая окружность на сфере).
• Простейшей моделью эллиптической геометрии является сфера, где роль «прямых» играют большие круги (геодезические). Однако на сфере любые два больших круга пересекаются в двух противоположных точках (антиподах). Для устранения этого несоответствия с аксиомой о единственности прямой, проходящей через две точки, в эллиптической геометрии часто отождествляют диаметрально противоположные точки сферы, получая проективную плоскость.

Риманова геометрия (общий случай)

Это наиболее общая теория, разработанная Бернхардом Риманом. Она изучает пространства (многообразия), на которых в каждой точке задана метрика — правило вычисления расстояний. Кривизна такого пространства может меняться от точки к точке. Евклидова, гиперболическая и эллиптическая геометрии являются частными случаями римановой геометрии с постоянной кривизной (нулевой, отрицательной и положительной соответственно). Риманова геометрия является математической основой общей теории относительности Альберта Эйнштейна.

Применение и значение

Математика

Неевклидовы геометрии сыграли фундаментальную роль в развитии математики:

• Они показали, что геометрия не является единственной и абсолютной истиной, а представляет собой логическую систему, основанную на выбранных аксиомах. Это привело к пересмотру оснований математики и развитию аксиоматического метода.
• Они стимулировали развитие топологии, теории групп Ли, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.
• Гиперболическая геометрия тесно связана с теорией чисел (через модулярные формы) и теорией групп (фуксовы и клейновы группы).

Физика

Наиболее известное приложение неевклидовой геометрии — общая теория относительности (ОТО), созданная Альбертом Эйнштейном в 1915 году. В ОТО гравитация описывается не как сила, а как искривление пространства-времени. Массивные тела (звёзды, планеты) искривляют пространство-время вокруг себя, и движение тел по геодезическим линиям в этом искривлённом пространстве воспринимается как гравитационное притяжение. Математическим аппаратом ОТО является риманова геометрия (точнее, псевдориманова геометрия с метрикой лоренцевой сигнатуры).

Компьютерные науки и искусство

• Компьютерная графика и визуализация данных: модели гиперболической геометрии (например, модель Пуанкаре) используются для визуализации больших иерархических структур (деревьев, графов, социальных сетей), так как они позволяют компактно отобразить бесконечное количество элементов.
• Искусство: работы голландского художника М. К. Эшера («Предел круга», «Ангелы и демоны») основаны на модели Пуанкаре гиперболической плоскости. Идеи неевклидовой геометрии также повлияли на архитектуру (например, проекты Захи Хадид) и современное изобразительное искусство.

Критика и философские аспекты

Открытие неевклидовых геометрий вызвало философский кризис в математике и физике. До XIX века считалось, что евклидова геометрия является единственно возможным описанием реального пространства. Неевклидовы геометрии поставили вопрос: какова истинная геометрия физического пространства? Эксперименты (например, измерение суммы углов треугольника, образованного лучами света от далёких звёзд) показывают, что на больших масштабах пространство нашей Вселенной с высокой точностью является плоским (евклидовым), хотя возможны и небольшие отклонения.

С философской точки зрения, неевклидовы геометрии продемонстрировали, что математические истины не являются априорными и абсолютными, а зависят от выбора аксиом. Это способствовало развитию конвенционализма (Анри Пуанкаре) и формализма (Давид Гильберт) в философии математики.

Источники

1. Лобачевский Н. И. «О началах геометрии» (1829).
2. Риман Б. «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854).
3. Клейн Ф. «Неевклидова геометрия» (лекции, 1889–1890).
4. Ефимов Н. В. «Высшая геометрия» (учебник).
5. Прасолов В. В., Тихомиров В. М. «Геометрия» (учебное пособие).