Пятый постулат Евклида

Пятый постулат Евклида (также известный как аксиома о параллельных) — одна из аксиом, положенных Евклидом в основу геометрии в его труде «Начала». В классической формулировке утверждает: если прямая, пересекающая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов (то есть меньше 180°), то эти две прямые при продолжении пересекутся с той стороны, с которой сумма углов меньше 180°. Из-за своей сложности, неочевидности и отличия от остальных аксиом, пятый постулат на протяжении более двух тысяч лет был предметом споров и попыток доказательства. Неразрешимость этой задачи в рамках евклидовой геометрии привела в XIX веке к созданию неевклидовых геометрий, что стало одним из важнейших переворотов в математике.

История и попытки доказательства

Формулировка в «Началах» Евклида

Евклид (около 300 г. до н. э.) в своей книге «Начала» привёл десять аксиом и постулатов, на которых строил всю геометрию. Первые четыре постулата просты и очевидны (например, «от любой точки до любой точки можно провести прямую линию»). Пятый постулат же формулируется сложно и громоздко:

«И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

Уже античным комментаторам, в частности Проклу (V век н. э.), эта формулировка казалась не столь очевидной. Прокл предположил, что она, возможно, является теоремой, которую можно вывести из остальных аксиом.

Попытки доказательства в Античности и Средневековье

Сам Евклид, возможно, не был полностью удовлетворён своим пятым постулатом: в «Началах» он старается как можно дольше обходиться без него, доказывая первые 28 теорем, используя лишь первые четыре постулата. В Средние века арабские математики (Ибн аль-Хайсам, XI век, Омар Хайям, XI–XII века) предприняли попытки доказать постулат. Например, Хайям пытался заменить его утверждением, что две сходящиеся прямые обязательно пересекаются, но это требовало принятия новых допущений.

Бесплодные усилия эпохи Возрождения и Нового времени

В Европе XVI–XVIII веков проблема пятого постулата стала одной из центральных в математике. Многие крупные учёные пытались его доказать:

• Джон Валлис (XVII век) показал, что пятый постулат эквивалентен утверждению о существовании подобных (но не равных) треугольников.
• Джованни Джероламо Саккери (XVIII век) в труде «Евклид, избавленный от всякого пятна» попытался применить метод «доказательства от противного». Он предположил, что пятый постулат ложен, и выстроил систему, где через точку вне прямой можно провести более одной параллельной прямой. К своему удивлению, он не нашёл логического противоречия, но, не решившись признать возможность неевклидовой геометрии, объявил полученные результаты «противоречащими природе прямой линии».
• Иоганн Генрих Ламберт (XVIII век) также независимо пришёл к аналогичным выводам, но, как и Саккери, счёл их абсурдными, хотя и допустил существование «воображаемой геометрии».

Все эти попытки, однако, не увенчались успехом: никому не удалось вывести пятый постулат из других аксиом. При этом выяснилось, что он эквивалентен многим другим, более привычным утверждениям (теореме о сумме углов треугольника, равной 180°, существованию единственной прямой, параллельной данной и проходящей через точку вне её, и т. д.).

Открытие неевклидовых геометрий

Работы Лобачевского и Бойаи

Прорыв произошёл в середине XIX века независимо друг от друга. Русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792–1856), а также венгерский математик Янош Бойаи (1802–1860) пришли к выводу, что пятый постулат недоказуем, и построили новую, логически непротиворечивую геометрию, где он заменён на противоположное утверждение: через данную точку можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих данную. Эта геометрия получила название гиперболической (воображаемой геометрии Лобачевского). Сам Лобачевский назвал её «воображаемой геометрией» и в 1826 году опубликовал доклад о её открытии. В гиперболической геометрии сумма углов треугольника меньше 180°, а площадь треугольника пропорциональна его дефекту (разнице между 180° и суммой углов).

Вклад Гаусса

Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) также занимался проблемой пятого постулата и, как выяснилось после его смерти, пришёл к аналогичным выводам о существовании неевклидовой геометрии. Однако он не публиковал результаты, опасаясь непонимания и споров со стороны коллег, особенно последователей Иммануила Канта, который считал евклидово пространство априорной формой чувственного созерцания.

Геометрия Римана

В 1854 году Бернхард Риман (1826–1866) предложил ещё одну неевклидову геометрию — эллиптическую (или сферическую). В ней пятый постулат заменён утверждением, что через точку вне прямой нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной (все прямые пересекаются). Сумма углов треугольника в такой геометрии больше 180°, а прямые являются большими кругами на сфере.

Значение и последствия

Непротиворечивость и модели

Главным достижением стало то, что были построены модели, показывающие непротиворечивость неевклидовых геометрий, если непротиворечива сама евклидова геометрия. Например, модель Пуанкаре (Клейна) для гиперболической геометрии: все точки находятся внутри круга, или в верхней полуплоскости, а «прямыми» являются дуги окружностей, перпендикулярные границе. Таким образом, пятый постулат оказался независимой аксиомой, которую можно как принимать, так и отвергать, не нарушая логики.

Изменение представлений о пространстве

До XIX века считалось, что евклидова геометрия описывает единственно возможное физическое пространство. Открытие неевклидовых геометрий показало, что пространство может быть неевклидовым. Позже, в начале XX века, Альберт Эйнштейн в общей теории относительности показал, что физическое пространство-время имеет риманову (неевклидову) структуру вблизи массивных тел. Таким образом, пятый постулат сыграл ключевую роль в развитии не только чистой математики, но и физики, космологии и философии науки.

Критика и дебаты

В своё время открытие Лобачевского и Бойаи не было принято широкой математической общественностью. Например, известный математик Михаил Остроградский назвал работу Лобачевского «бредом». Только после публикации работ Римана и последующего признания заслуг Лобачевского (посмертно) неевклидовы геометрии заняли прочное место в математике. На сегодняшний день они являются фундаментом современной геометрии, теории относительности и некоторых разделов топологии.

См. также

• Аксиома параллельности
• Геометрия Лобачевского
• Сферическая геометрия
• Основания геометрии

Источники

1. Евклид. Начала. Книга I (издание разных авторов, классические переводы Д. Д. Мордухай-Болтовского).
2. Лобачевский Н. И. О началах геометрии // Полное собрание сочинений. Т. 1–5. М.–Л., 1946–1951.
3. Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии. М.: Наука, 1976.
4. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 2. Геометрия. М.: Наука, 1987.
5. Василевский В. Л. Лекции по геометрии. Ч. 1. Основания геометрии. М.: Высшая школа, 1970.