Невозможные фигуры: треугольник Пенроуза¶

Треугольник Пенроуза — одна из основных невозможных фигур, оптическая иллюзия, представляющая собой объёмный треугольник, который в трёхмерном пространстве существовать не может. Впервые опубликован в 1958 году британским математиком Роджером Пенроузом в статье в British Journal of Psychology. Фигура также известна как «трибар» (от англ. tribar) и «невозможный треугольник».

¶История

Идея фигуры возникла у Роджера Пенроуза в 1954 году, когда он слушал лекцию голландского художника М. К. Эшера о невозможных построениях. В 1956 году Пенроуз, будучи студентом, набросал эскиз невозможного треугольника, а в 1958 году опубликовал его совместно с отцом, генетиком Лайонелом Пенроузом, в статье под названием «Невозможные объекты: особый тип оптической иллюзии».

В 1961 году Эшер, вдохновившись статьёй, создал знаменитую литографию «Водопад», в которой вода, стекая по жёлобам, в конце концов вновь попадает в верхнюю точку, образуя вечный цикл, — конструкция основана на двух треугольниках Пенроуза, совмещённых в форме пентаграммы.

¶Геометрическое описание

Треугольник Пенроуза выглядит как три бруска, соединённых под прямыми углами. Каждый брусок перпендикулярен двум другим, что в сумме создаёт замкнутую структуру. Однако суммарный поворот при обходе контура фигуры составляет 270 градусов вместо 360, что делает её невозможной в евклидовом пространстве.

При построении фигуры на плоскости используется эффект «ложной перспективы»: углы соединений изображаются так, чтобы при взгляде с определённой точки они казались прямыми, хотя на самом деле таковыми не являются. Мозг зрителя пытается интерпретировать двумерное изображение как трёхмерный объект, но сталкивается с противоречием: каждая отдельная часть фигуры выглядит правдоподобно, однако целое не может существовать.

¶Разновидности и родственные фигуры

• Большой треугольник Пенроуза — увеличенная версия, в которой бруски имеют большую толщину.
• Невозможный квадрат — четырёхугольный аналог, построенный по тому же принципу.
• Невозможная лестница (лестница Пенроуза) — конструкция, в которой при непрерывном подъёме по ступеням человек возвращается в исходную точку. Описана Лайонелом и Роджером Пенроузами в той же статье 1958 года.
• Трибар с разрывами — вариант, в котором бруски не соприкасаются, что усиливает иллюзию.

¶Восприятие и психология

Невозможные фигуры изучаются в когнитивной психологии как пример того, как мозг обрабатывает зрительную информацию. При взгляде на треугольник Пенроуза происходит «конфликт интерпретаций»: зрительная система последовательно анализирует отдельные фрагменты, каждый из которых соответствует реальному трёхмерному объекту, но не может собрать их в единую непротиворечивую модель. Исследования с использованием функциональной магнитно-резонансной томографии показывают повышенную активность в зонах мозга, отвечающих за пространственное восприятие и внимание, при рассматривании невозможных фигур.

¶Применение

• Искусство: помимо Эшера, мотив треугольника Пенроуза использовали скульпторы. В 1999 году в Перте (Австралия) установлена алюминиевая скульптура невозможного треугольника высотой около 1,3 метра.
• Логотипы: стилизованный треугольник Пенроуза применялся в эмблемах различных компаний, например в логотипе фирмы по производству программного обеспечения.
• Дизайн и архитектура: фигура используется как декоративный элемент, а также в учебных целях для демонстрации принципов перспективы и начертательной геометрии.
• Популярная культура: треугольник Пенроуза фигурирует в компьютерных играх, головоломках и научно-популярных передачах как пример парадоксального объекта.

¶Критика и ограничения

Некоторые исследователи отмечают, что «невозможность» треугольника Пенроуза носит условный характер: при определённых условиях (например, при использовании искривлённого пространства или неевклидовой геометрии) подобная конструкция может быть реализована. В 2014 году группа учёных из Израиля и Германии создала физическую модель, которая выглядит как треугольник Пенроуза при взгляде под определённым углом, используя специально изогнутые поверхности.

¶Источники

• Penrose L. S., Penrose R. Impossible objects: a special type of visual illusion // British Journal of Psychology. — 1958. — Vol. 49.
• Эшер М. К. Графика. — М.: Арт-Родник, 2005.
• Ernst B. The Eye Beguiled: Optical Illusions. — Taschen, 1992.
• Sugihara K. Design of solids for antigravity motion illusion // Computational Geometry. — 2014.