Открыть сервис
Главная → Блог → Объём тетраэдра

Объём тетраэдра

Объём тетраэдра — это численная характеристика части пространства, занимаемой тетраэдром (треугольной пирамидой). В стереометрии объём тетраэдра вычисляется как одна треть произведения площади его основания на высоту, опущенную из противолежащей вершины на плоскость основания. Тетраэдр является простейшим многогранником: он ограничен четырьмя треугольными гранями, имеет четыре вершины и шесть рёбер, а любую его грань можно принять за основание.

Основная формула

Классическая формула объёма тетраэдра:

V = (1/3) · S · h,

где S — площадь выбранной грани (основания), h — высота, то есть длина перпендикуляра, опущенного из вершины, не лежащей в плоскости этой грани, на саму плоскость. Формула не зависит от того, какая из четырёх граней принята за основание: результат один и тот же.

Эта формула является частным случаем формулы объёма пирамиды и справедлива для любого тетраэдра — правильного, прямоугольного, произвольного.

Вычисление через координаты вершин

Если вершины тетраэдра заданы координатами в прямоугольной декартовой системе:

A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃), D(x₄, y₄, z₄),

то объём вычисляется через смешанное произведение векторов:

V = (1/6) · |(AB × AC) · AD|.

Иначе говоря, модуль определителя третьего порядка, составленного из координат векторов AB, AC и AD, делится на шесть. Знак определителя зависит от порядка вершин; для получения объёма берётся абсолютная величина.

Правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр — это тетраэдр, все грани которого являются равносторонними треугольниками. Если длина ребра равна a, то:

  • площадь одной грани: S = (√3/4) · a²;
  • высота тетраэдра: h = a · √(2/3);
  • объём: V = (√2/12) · a³ ≈ 0,1179 · a³.

Правильный тетраэдр — один из пяти правильных многогранников (платоновых тел). Его объём можно также выразить через радиус описанной сферы R: V = (8√3/27) · R³, и через радиус вписанной сферы r: V = 8√3 · r³.

Прямоугольный тетраэдр

Тетраэдр называется прямоугольным, если три ребра, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны. Если их длины равны a, b и c, то объём:

V = (1/6) · a · b · c.

Это прямое обобщение формулы объёма прямоугольного треугольника на трёхмерный случай. Такой тетраэдр удобно рассматривать как «отсечённый угол» прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b, c: его объём составляет ровно одну шестую часть объёма параллелепипеда.

Формула через рёбра

Для произвольного тетраэдра с длинами рёбер существует формула, обобщающая формулу Герона для треугольника, — определитель Кэли — Менгера. Через него объём выражается только через шесть длин рёбер, без использования углов и высот. Это удобно, когда тетраэдр задан исключительно метрикой своих рёбер.

Свойства и соотношения

Объём тетраэдра обладает рядом характерных свойств:

  • При равных высотах объёмы пропорциональны площадям оснований.
  • Если две вершины тетраэдра поменять местами, объём не меняется по абсолютной величине, но меняет знак в ориентированной форме записи.
  • Отношение объёмов подобных тетраэдров равно кубу коэффициента подобия.
  • Медианы тетраэдра (отрезки от вершины до центра тяжести противолежащей грани) пересекаются в одной точке — центроиде, которая делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит объём на четыре равновеликие части.

Применение

Вычисление объёма тетраэдра используется в самых разных областях:

Пример

Пусть дан тетраэдр с вершинами A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 3, 0), D(0, 0, 4). Векторы AB = (2, 0, 0), AC = (0, 3, 0), AD = (0, 0, 4). Смешанное произведение равно 2·3·4 = 24, а объём V = 24/6 = 4 кубических единицы. Тот же результат даёт формула прямоугольного тетраэдра: (1/6)·2·3·4 = 4.

Интересные факты

  • Тетраэдр — единственный многогранник, у которого число граней равно числу вершин (четыре).
  • Правильный тетраэдр занимает наименьший объём среди всех тетраэдров с заданной площадью полной поверхности.
  • В отличие от площади треугольника, объём тетраэдра нельзя выразить только через длины его рёбер одной рациональной формулой без квадратных корней — определитель Кэли — Менгера содержит вложенные радикалы.

Источники: учебники по стереометрии и аналитической геометрии, справочники по элементарной математике, материалы по вычислительной геометрии и методу конечных элементов.

Похожие материалы