Ордината в математике¶

Ордината — одна из двух (в двумерной системе) или трёх (в трёхмерной системе) координат точки в декартовой системе координат, определяющая положение точки по вертикальной оси. В стандартной записи координат точки на плоскости ордината занимает второе место: точка обозначается как (x, y), где x — абсцисса, а y — ордината. Термин происходит от латинского «ordinatus» — «упорядоченный, расположенный в порядке».

¶Происхождение термина

Понятие координат в близком к современному виде сформировалось в XVII веке в работах французского математика и философа Рене Декарта, а также независимо от него — в трудах Пьера де Ферма. Декарт изложил идею координатной плоскости в трактате «Геометрия» (1637), связав геометрию с алгеброй. Именно с этого времени прямая с координатами получила название декартовой системы координат.

Сами термины «абсцисса» и «ордината» закрепились позднее. Слово «абсцисса» происходит от латинского «abscissa» — «отрезанная, отделённая», а «ордината» — от «ordinata» — «упорядоченная». В русскоязычную математическую литературу термины вошли в XVIII–XIX веках вместе с переводом и переработкой европейских учебников; значительную роль в этом сыграли труды российских математиков и переводчиков того времени.

¶Определение и обозначение

В прямоугольной (декартовой) системе координат на плоскости через точку начала координат O проводят две взаимно перпендикулярные оси. Горизонтальную ось называют осью абсцисс и обозначают Ox, вертикальную — осью ординат и обозначают Oy.

Ординатой точки M называется число, равное расстоянию от точки M до оси абсцисс, взятому со знаком «плюс», если точка лежит выше оси Ox, и со знаком «минус», если ниже. Иначе говоря, ордината — это проекция точки на ось Oy, выраженная в единицах масштаба.

Запись координат точки: M(x; y), где первое число — абсцисса, второе — ордината. Например, точка A(3; −2) имеет абсциссу 3 и ординату −2.

¶Свойства

• Точки, лежащие на оси абсцисс, имеют ординату, равную нулю: y = 0.
• Точки, лежащие на оси ординат, имеют абсциссу, равную нулю: x = 0.
• Знак ординаты определяет, в верхней (y > 0) или нижней (y < 0) полуплоскости расположена точка.
• Ордината начала координат равна нулю: O(0; 0).

¶Ордината в трёхмерном пространстве

В трёхмерной прямоугольной системе координат используются три оси: Ox (абсцисс), Oy (ординат) и Oz (аппликат). Точка задаётся тройкой чисел (x; y; z), где ордината по-прежнему отвечает за положение вдоль оси Oy. Ось ординат в пространстве обычно изображают направленной вправо-вглубь, а ось аппликат — вертикально вверх, однако конкретное расположение осей зависит от выбранного способа изображения (левая или правая система координат).

¶Применение

Ордината как координата широко используется в математике, физике, технике и других областях:

• Графики функций. График функции y = f(x) строится в системе координат, где по оси абсцисс откладывают значения аргумента, а по оси ординат — значения функции. Ордината точки графика равна значению функции в соответствующей точке.
• Физика. При описании движения тела ордината может обозначать вертикальную координату, высоту, смещение по выбранной оси.
• Инженерия и картография. В геодезии и картографии применяются системы координат, где одна из осей играет роль, аналогичную ординате; при этом важно учитывать направление осей и начало отсчёта.
• Экономика и статистика. На графиках зависимости величин ордината отображает значение исследуемого показателя (например, объёма выпуска, цены, температуры).

¶Ордината и график функции

Связь ординаты с понятием функции — одна из центральных в школьном курсе математики. Каждой точке графика соответствует пара (x; y), где y есть значение функции при данном x. Ордината точки пересечения графика с осью Oy равна значению функции при x = 0, то есть f(0). Нули функции — это точки, в которых ордината равна нулю, то есть график пересекает ось абсцисс.

Понятие ординаты лежит в основе аналитической геометрии: уравнения прямых, окружностей, эллипсов и других кривых описывают множества точек с определёнными соотношениями между абсциссой и ординатой.

¶Смежные понятия

• Абсцисса — координата точки по горизонтальной оси Ox.
• Аппликата — третья координата в трёхмерной системе, отвечающая за ось Oz.
• Система координат — совокупность осей, начала отсчёта и единиц масштаба, позволяющая задавать положение точек числами.
• Полярная система координат — альтернативный способ задания положения точки через расстояние и угол, где привычные абсцисса и ордината заменяются радиусом и полярным углом.

¶Интересные факты

• В русском языке термины «абсцисса» и «ордината» иногда путают из-за схожести звучания; для запоминания используют мнемонику: абсцисса — «по иксу», ордината — «по игреку».
• В некоторых старых учебниках и переводной литературе встречались иные названия осей, однако к XX веку терминология устоялась.
• Обозначения x и y для абсциссы и ординаты стали практически универсальными в мировой математической литературе.

¶Источники

• Учебники по алгебре и началам анализа для средней школы.
• Курс аналитической геометрии.
• Математическая энциклопедия.
• История математики (общие обзоры развития аналитической геометрии XVII века).