Ось абсцисс в математике¶

Ось абсцисс — это горизонтальная координатная ось прямоугольной (декартовой) системы координат на плоскости, вдоль которой откладываются значения первой координаты точки. В стандартной записи координат точки (x; y) именно величина x называется абсциссой, а ось, на которой она измеряется, носит название оси абсцисс. Обычно её обозначают латинской буквой x (реже — Ox), направляют слева направо и считают положительной в правой полуплоскости. Вместе с вертикальной осью ординат (Oy) ось абсцисс образует координатную сетку, позволяющую однозначно задавать положение точек на плоскости.

¶Происхождение термина

Слово «абсцисса» происходит от латинского abscissa — «отрезанная» (от abscindere — «отрезать, отделять»). Термин вошёл в употребление в XVII веке в работах европейских математиков, развивавших аналитическую геометрию. Латинское обозначение отражало геометрический смысл: отрезок, «отсекаемый» на оси от начала координат до проекции точки. В русский язык термин пришёл через научную переводную литературу XVIII века и закрепился в учебниках математики. Наряду с «абсциссой» используется и более общее понятие «ордината» для второй координаты.

¶Место в системе координат

Прямоугольная система координат на плоскости задаётся двумя взаимно перпендикулярными осями, пересекающимися в точке начала координат O. Ось абсцисс в этой паре выполняет роль горизонтальной направляющей:

• начало отсчёта — точка O с координатами (0; 0);
• положительное направление — вправо, отрицательное — влево;
• единичный (масштабный) отрезок задаёт цену деления шкалы;
• каждая точка плоскости получает единственную пару чисел (x; y).

Оси делят плоскость на четыре квадранта (четверти). Знак абсциссы различается по квадрантам: в I и IV четвертях x > 0, во II и III — x < 0. Точки, лежащие непосредственно на оси абсцисс, имеют ординату, равную нулю.

¶Свойства и связанные понятия

Ось абсцисс обладает рядом характеристик, важных при работе с графиками и уравнениями:

• Нули функции. Точки пересечения графика функции y = f(x) с осью абсцисс соответствуют значениям x, при которых f(x) = 0. Эти значения называют корнями или нулями функции.
• Проекция точки. Абсцисса точки равна длине отрезка от начала координат до основания перпендикуляра, опущенного из точки на ось x, с учётом знака.
• Симметрия. Ось абсцисс служит осью симметрии для графиков чётных функций: если f(−x) = f(x), график зеркально отражается относительно неё.
• Расстояние. Расстояние между двумя точками на оси абсцисс равно модулю разности их абсцисс.

В трёхмерном пространстве к осям абсцисс и ординат добавляется ось аппликат (Oz), а координата x сохраняет название абсциссы.

¶Применение

Понятие оси абсцисс используется практически во всех разделах математики и естественных наук:

В прикладных задачах по оси абсцисс чаще всего откладывают независимую переменную — время, расстояние, температуру, объём выпуска и т. п., а по оси ординат — зависимую величину.

¶Обозначения и соглашения

В российской учебной традиции ось абсцисс обозначают строчной буквой x или символом Ox. При построении графиков её изображают со стрелкой, указывающей положительное направление, и подписывают у конца стрелки. Масштаб по осям может различаться: например, при изображении быстропротекающих процессов цену деления по оси абсцисс выбирают крупнее. В зарубежной литературе наряду с x встречаются обозначения в виде горизонтальной оси независимой переменной.

¶Смежные понятия

С осью абсцисс тесно связаны понятия координатной плоскости, декартовой системы координат, графика функции, аргумента и абсциссы точки. В аналитической геометрии через координаты выражают уравнения прямых, окружностей и других кривых. В математическом анализе ось абсцисс используется при определении предела, производной (как тангенс угла наклона касательной к оси x) и интеграла (как площади под кривой над осью абсцисс).

Источники: учебники по алгебре и началам анализа, справочники по элементарной математике, энциклопедические словари математических терминов.