Ортогональные полиномы: классификация и свойства¶

Ортогональные полиномы — это последовательности многочленов \(p_n(x)\), \(n=0,1,2,\dots\), заданные на интервале \((a,b)\) (конечном или бесконечном) с весовой функцией \(w(x)>0\), которые удовлетворяют условию ортогональности:

\[ \int_a^b p_n(x) p_m(x) w(x)\,dx = 0, \quad n \neq m. \]

При нормировке \(\int_a^b p_n^2(x) w(x)\,dx = 1\) последовательность называют ортонормированной. Ортогональные полиномы образуют полный базис в гильбертовом пространстве \(L^2_w(a,b)\), что позволяет разлагать произвольные функции в обобщённые ряды Фурье.

¶Классификация по схеме Шеффера

Наиболее важные классические ортогональные полиномы объединяются схемой Шеффера — они являются решениями дифференциального уравнения второго порядка и обладают производящей функцией вида \(A(t)\exp(xB(t))\). Основные семейства:

Полиномы Лежандра, Чебышёва и Якоби являются частными случаями полиномов Якоби (при \(\alpha=\beta=0\), \(\alpha=\beta=-1/2\) и общих параметрах соответственно). Полиномы Лагерра и Эрмита получаются из схемы Шеффера как предельные случаи.

¶Основные свойства

¶Рекуррентные соотношения

Каждая последовательность ортогональных полиномов удовлетворяет трёхчленной рекуррентной формуле:

\[ p_{n+1}(x) = (a_n x + b_n) p_n(x) - c_n p_{n-1}(x), \]

где коэффициенты \(a_n, b_n, c_n\) выражаются через старшие коэффициенты и нормы полиномов. Например, для полиномов Лежандра:

\[ (n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)x P_n(x) - n P_{n-1}(x). \]

¶Корни и квадратуры Гаусса

Все корни ортогонального полинома \(p_n(x)\) вещественны, просты и лежат внутри интервала \((a,b)\). На этом основаны квадратурные формулы Гаусса: для веса \(w(x)\) узлы квадратуры — корни \(p_n(x)\), а веса выражаются через значения полиномов. Формула Гаусса точна для многочленов степени до \(2n-1\).

¶Дифференциальное уравнение

Классические ортогональные полиномы являются собственными функциями уравнения:

\[ \sigma(x) y'' + \tau(x) y' + \lambda_n y = 0, \]

где \(\sigma(x)\) — многочлен степени не выше 2, \(\tau(x)\) — многочлен первой степени, \(\lambda_n\) — собственное значение. Для полиномов Чебышёва I рода уравнение имеет вид:

\[ (1-x^2)T_n''(x) - x T_n'(x) + n^2 T_n(x) = 0. \]

¶Формулы Родрига

Классические полиномы представимы в виде:

\[ p_n(x) = \frac{1}{K_n w(x)} \frac{d^n}{dx^n}\left[ w(x) \sigma^n(x) \right], \]

где \(K_n\) — нормировочная константа. Для полиномов Эрмита: \(H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}\).

¶Применение

Ортогональные полиномы применяются в:

• Численном анализе — квадратурные формулы Гаусса (Лежандра, Чебышёва, Лагерра, Эрмита) для вычисления интегралов; аппроксимация функций методом наименьших квадратов.
• Дифференциальных уравнениях — метод Галёркина и спектральные методы решения краевых задач; собственные функции задач Штурма—Лиувилля.
• Квантовой механике — волновые функции гармонического осциллятора (полиномы Эрмита), атома водорода (полиномы Лагерра), сферические гармоники (полиномы Лежандра).
• Теории приближений — полиномы Чешёва минимальны по равномерной норме на отрезке \([-1,1]\), что делает их оптимальными для интерполяции и фильтрации сигналов.
• Статистике и теории вероятностей — полиномы Эрмита в разложениях Эджворта, полиномы Грама—Шарлье.

¶Свойства дискретных ортогональных полиномов

Помимо непрерывных, существуют дискретные ортогональные полиномы, ортогональные относительно сумм по дискретному множеству точек: полиномы Кравчука, Мейкснера, Шарлье и Хана. Они применяются в комбинаторике, теории кодирования и обработке дискретных сигналов.