Полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра — это система ортогональных многочленов, определённых на отрезке [−1, 1] с весом 1, являющаяся решением дифференциального уравнения Лежандра. Они широко применяются в математической физике, теории приближений и численном анализе, в частности, при решении краевых задач для уравнения Лапласа в сферических координатах, а также в задачах разложения функций в ряды.

История

Полиномы Лежандра были введены французским математиком Адриеном Мари Лежандром (1752–1833) в 1782 году в связи с изучением притяжения небесных тел. Лежандр рассматривал потенциал гравитационного поля, который выражается через обратное расстояние между двумя точками. Разложение этого потенциала в ряд по степеням отношения расстояний привело его к многочленам, которые позже получили его имя. В 1785 году Лежандр опубликовал работу «Recherches sur l’attraction des sphéroïdes homogènes», где систематически изложил свойства этих многочленов.

Позднее, в XIX веке, теория полиномов Лежандра была значительно развита. Карл Фридрих Гаусс использовал их для построения квадратурных формул (метод Гаусса — Лежандра). Пьер-Симон Лаплас применил их в своей теории потенциала, а Фридрих Вильгельм Бессель и другие математики исследовали их асимптотические свойства и связь с другими специальными функциями.

Определение

Полином Лежандра степени \(n\) (обозначается \(P_n(x)\)) может быть определён несколькими эквивалентными способами.

Формула Родрига

Наиболее компактное определение даётся формулой Родрига (1816):

\[ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left( x^2 - 1 \right)^n. \]

Рекуррентное соотношение

Полиномы Лежандра удовлетворяют рекуррентной формуле:

\[ (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x), \]

с начальными значениями \(P_0(x) = 1\) и \(P_1(x) = x\).

Явная формула

В явном виде полином Лежандра степени \(n\) записывается как:

\[ P_n(x) = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n-2k}{n} x^{n-2k}. \]

Основные свойства

Ортогональность

Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему на отрезке [−1, 1] с весом 1:

\[ \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) \, dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn}, \]

где \(\delta_{mn}\) — символ Кронекера.

Нормировка

Они нормированы условием \(P_n(1) = 1\) для всех \(n\). Значение на левом конце: \(P_n(-1) = (-1)^n\).

Чётность

Полиномы Лежандра обладают свойством чётности:

\[ P_n(-x) = (-1)^n P_n(x). \]

Нули

Все нули полинома \(P_n(x)\) вещественны, различны и лежат строго внутри интервала (−1, 1). Они симметричны относительно нуля.

Производящая функция

Производящая функция для полиномов Лежандра имеет вид:

\[ \frac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(x) t^n, \quad |t| < 1, \ |x| \le 1. \]

Эта функция играет ключевую роль в теории потенциала, так как представляет собой разложение обратного расстояния между двумя точками.

Дифференциальное уравнение

Полиномы Лежандра являются решениями обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, называемого уравнением Лежандра:

\[ (1 - x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0, \]

где \(n\) — неотрицательное целое число. Это уравнение возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах.

Применение

Математическая физика

Полиномы Лежандра естественным образом появляются при решении уравнения Лапласа в сферических координатах. Угловая часть решения выражается через сферические гармоники, радиальная часть которых содержит полиномы Лежандра. В частности, потенциал точечного заряда или гравитирующей массы вдали от источника разлагается в ряд по полиномам Лежандра.

Численный анализ

В численных методах полиномы Лежандра используются в квадратурах Гаусса — Лежандра — методе приближённого вычисления определённых интегралов. Узлы квадратуры совпадают с нулями полинома \(P_n(x)\), а веса вычисляются по специальной формуле. Этот метод обеспечивает высокую точность для гладких функций.

Теория приближений

Полиномы Лежандра образуют базис в пространстве квадратично интегрируемых функций на отрезке [−1, 1]. Разложение функции в ряд по полиномам Лежандра (ряд Фурье — Лежандра) позволяет аппроксимировать её с минимальной среднеквадратической ошибкой.

Геодезия и картография

В геодезии полиномы Лежандра применяются для моделирования гравитационного поля Земли. Разложение геопотенциала в ряд по сферическим гармоникам включает полиномы Лежандра в качестве множителей, зависящих от широты.

Примеры первых полиномов

Ниже приведены полиномы Лежандра для первых нескольких степеней:

Связанные понятия

Присоединённые функции Лежандра

Обобщением полиномов Лежандра являются присоединённые функции Лежандра \(P_n^m(x)\), где \(m\) — целое число, \(|m| \le n\). Они определяются через производные полиномов Лежандра:

\[ P_n^m(x) = (-1)^m (1 - x^2)^{m/2} \frac{d^m}{dx^m} P_n(x). \]

Эти функции используются при построении сферических гармоник.

Многочлены Чебышёва

Наряду с полиномами Лежандра, в теории приближений широко применяются многочлены Чебышёва, которые ортогональны с другим весом и имеют другие свойства.

Интересные факты

• Полиномы Лежандра являются частным случаем многочленов Якоби, а также связаны с гипергеометрической функцией Гаусса.
• В квантовой механике полиномы Лежандра возникают при описании углового момента частицы.
• Нули полиномов Лежандра используются в методе коллокаций для решения дифференциальных уравнений.

Источники

• Лежандр А. М. «Recherches sur l’attraction des sphéroïdes homogènes» (1785).
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений» (1963).
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. «Уравнения математической физики» (1977).
• Бейтмен Г., Эрдейи А. «Высшие трансцендентные функции. Том 2» (1974).