Полиномы Эрмита

Полиномы Эрмита — это семейство ортогональных многочленов, являющихся решениями дифференциального уравнения Эрмита и широко применяющихся в квантовой механике, теории вероятностей, численном анализе и математической физике. Они представляют собой классические ортогональные полиномы, названные в честь французского математика Шарля Эрмита (1822–1901). Полиномы Эрмита делятся на два основных типа: физические (или вероятностные) и вероятностные (или статистические), различающиеся нормировкой и областью применения.

Определение и основные свойства

Полиномы Эрмита \( H_n(x) \) (физические) и \( He_n(x) \) (вероятностные) определяются как ортогональные многочлены степени \( n \) относительно весовой функции \( e^{-x^2} \) и \( e^{-x^2/2} \) соответственно на всей числовой прямой. Они удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям:

• Для физических полиномов: \( H_{n+1}(x) = 2x H_n(x) - 2n H_{n-1}(x) \), с начальными условиями \( H_0(x) = 1 \), \( H_1(x) = 2x \).
• Для вероятностных полиномов: \( He_{n+1}(x) = x He_n(x) - n He_{n-1}(x) \), с начальными условиями \( He_0(x) = 1 \), \( He_1(x) = x \).

Ортогональность выражается интегралом:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} H_m(x) H_n(x) e^{-x^2} dx = 2^n n! \sqrt{\pi} \delta_{mn}, \] \[ \int_{-\infty}^{\infty} He_m(x) He_n(x) e^{-x^2/2} dx = \sqrt{2\pi} n! \delta_{mn}, \]

где \( \delta_{mn} \) — символ Кронекера.

Полиномы Эрмита являются четными или нечетными в зависимости от степени: \( H_n(-x) = (-1)^n H_n(x) \). Их старший коэффициент равен \( 2^n \) для физических и \( 1 \) для вероятностных полиномов.

История

Полиномы Эрмита впервые появились в работах Пьера-Симона Лапласа в 1810 году в контексте теории вероятностей, но систематическое исследование провёл Шарль Эрмит в 1864 году в связи с решением дифференциального уравнения, возникающего при изучении теплопроводности и квантового гармонического осциллятора. Эрмит показал, что эти полиномы образуют ортогональную систему и могут быть выражены через производные функции Гаусса. В XX веке они стали фундаментальным инструментом в квантовой механике (волновые функции гармонического осциллятора) и теории случайных процессов.

Классификация

Физические полиномы Эрмита \( H_n(x) \)

Используются в квантовой механике и математической физике. Определяются формулой Родрига:

\[ H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}. \]

Первые несколько полиномов:

• \( H_0(x) = 1 \)
• \( H_1(x) = 2x \)
• \( H_2(x) = 4x^2 - 2 \)
• \( H_3(x) = 8x^3 - 12x \)
• \( H_4(x) = 16x^4 - 48x^2 + 12 \)

Вероятностные полиномы Эрмита \( He_n(x) \)

Применяются в теории вероятностей и статистике, особенно в разложениях Эджворта и Грама — Шарлье. Определяются формулой:

\[ He_n(x) = (-1)^n e^{x^2/2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2/2}. \]

Первые несколько полиномов:

• \( He_0(x) = 1 \)
• \( He_1(x) = x \)
• \( He_2(x) = x^2 - 1 \)
• \( He_3(x) = x^3 - 3x \)
• \( He_4(x) = x^4 - 6x^2 + 3 \)

Связь между типами: \( H_n(x) = 2^{n/2} He_n(\sqrt{2} x) \).

Устройство и характеристики

Производящая функция

Производящая функция для физических полиномов:

\[ e^{2xt - t^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n(x) t^n}{n!}. \]

Для вероятностных:

\[ e^{xt - t^2/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{He_n(x) t^n}{n!}. \]

Дифференциальное уравнение

Полиномы Эрмита удовлетворяют уравнению:

\[ y'' - 2x y' + 2n y = 0 \quad (\text{физические}), \] \[ y'' - x y' + n y = 0 \quad (\text{вероятностные}). \]

Асимптотика

При больших \( n \) и \( x \) полиномы ведут себя как:

\[ H_n(x) \sim 2^{n+1/2} \sqrt{n!} \pi^{-1/4} e^{x^2/2} \cos\left( \sqrt{2n+1} x - \frac{n\pi}{2} \right). \]

Применение

Квантовая механика

В квантовой механике полиномы Эрмита являются ключевым элементом волновых функций стационарных состояний квантового гармонического осциллятора. Волновая функция \( n \)-го уровня энергии имеет вид:

\[ \psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left( \frac{m\omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} H_n\left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right) e^{-m\omega x^2/(2\hbar)}, \]

где \( m \) — масса, \( \omega \) — частота, \( \hbar \) — редуцированная постоянная Планка. Это решение уравнения Шрёдингера для потенциала \( V(x) = \frac{1}{2} m\omega^2 x^2 \).

Теория вероятностей

В теории вероятностей полиномы Эрмита используются для разложения плотностей распределений в ряды по ортогональным функциям (разложение Грама — Шарлье). Они также связаны с моментами нормального распределения: \( n \)-й момент стандартного нормального распределения равен \( He_n(0) \) для чётных \( n \) и нулю для нечётных.

Численный анализ

Полиномы Эрмита применяются в квадратурных формулах Гаусса — Эрмита для численного интегрирования функций с весом \( e^{-x^2} \) на всей прямой. Узлы квадратуры — корни полиномов Эрмита, а веса вычисляются через их производные.

Оптика и теория сигналов

В оптике полиномы Эрмита — Гаусса описывают моды лазерного излучения в резонаторах с прямоугольной симметрией. В обработке сигналов они используются для аппроксимации и фильтрации.

Примеры

Вычисление значений

• \( H_2(1) = 4 \cdot 1^2 - 2 = 2 \)
• \( He_3(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 = 0 \)

Корни полиномов

Корни полиномов Эрмита вещественны, симметричны относительно нуля и просты. Например, корни \( H_2(x) \): \( x = \pm 1/\sqrt{2} \); корни \( H_3(x) \): \( x = 0, \pm \sqrt{3/2} \).

Интересные факты

• Полиномы Эрмита являются частным случаем полиномов Якоби при определённых параметрах.
• В квантовой механике энергия гармонического осциллятора квантуется как \( E_n = \hbar \omega (n + 1/2) \), что непосредственно следует из свойств полиномов.
• В статистической физике полиномы Эрмита возникают при разложении функции распределения вблизи равновесия.

Критика и ограничения

Основным ограничением полиномов Эрмита является их ортогональность только на бесконечном интервале с весом \( e^{-x^2} \), что не всегда удобно для задач с компактным носителем. Кроме того, численная устойчивость вычислений при больших \( n \) может ухудшаться из-за экспоненциального роста значений. Для преодоления этих проблем используются масштабированные версии или альтернативные ортогональные системы, такие как полиномы Чебышёва или Лежандра.

Источники

• Эрмит, Шарль. «Sur quelques fonctions orthogonales». Comptes Rendus, 1864.
• Абрамовиц, М., Стиган, И. «Справочник по специальным функциям». Наука, 1979.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. «Квантовая механика: нерелятивистская теория». Физматлит, 2004.
• Градштейн, И. С., Рыжик, И. М. «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений». БХВ-Петербург, 2011.