Отто Мор¶

Отто Мор (нем. Otto Mohr; 8 октября 1836, Везель, Пруссия — 2 октября 1918, Дрезден, Германия) — немецкий инженер-строитель, механик и педагог, один из основоположников современной строительной механики и сопротивления материалов. Наиболее известен разработкой графического метода анализа напряжений — круга Мора, а также вкладом в теорию прочности материалов и расчёт статически неопределимых систем.

¶Биография

¶Ранние годы и образование

Отто Мор родился в семье торговца в городе Везель на западе Пруссии. В 1855 году поступил в Ганноверский политехнический институт, где изучал инженерное дело под руководством Карла Кульмана, одного из пионеров графической статики. В 1857 году, получив диплом, начал работать на строительстве железных дорог в Ганновере и Ольденбурге.

¶Инженерная и академическая карьера

С 1860 года Мор занимал должность инженера на строительстве мостов и других сооружений в Пруссии. В 1867 году он стал профессором механики и строительной механики в Штутгартском политехническом институте (ныне Штутгартский университет). В 1873 году перешёл в Дрезденский политехнический институт (ныне Дрезденский технический университет), где проработал до выхода на пенсию в 1900 году. В Дрездене он основал одну из первых в мире лабораторий по испытанию материалов, оснащённую собственными конструкциями испытательных машин.

¶Поздние годы

После отставки Мор продолжал научную работу, публиковал статьи и консультировал инженерные проекты. Умер в Дрездене в 1918 году, незадолго до своего 82-летия.

¶Научные достижения

¶Круг Мора

Главное изобретение Отто Мора — круг Мора (или круг напряжений Мора) — графический метод, позволяющий определить нормальные и касательные напряжения на произвольной площадке в теле при известных главных напряжениях. Метод был впервые опубликован в 1882 году в работе «О представлении напряжённого состояния с помощью круга». Круг Мора строится в координатах «нормальное напряжение — касательное напряжение»: точки на окружности соответствуют напряжениям на площадках, повёрнутых относительно главных осей. Этот инструмент широко применяется в сопротивлении материалов, теории упругости, геотехнике и механике грунтов.

¶Теория прочности Мора

В 1900 году Мор предложил теорию прочности Мора (также известную как теория Мора — Кулона), которая описывает условие разрушения материалов, чувствительных к гидростатическому давлению (например, горных пород, бетона, почв). Согласно этой теории, разрушение происходит, когда касательное напряжение на площадке достигает величины, линейно зависящей от нормального напряжения на той же площадке. Условие прочности записывается в виде: τ = c + σ·tan(φ), где τ — предельное касательное напряжение, σ — нормальное напряжение, c — сцепление, φ — угол внутреннего трения. Эта теория лежит в основе расчётов устойчивости откосов, фундаментов и подпорных стен.

¶Метод сил в строительной механике

Мор внёс существенный вклад в развитие метода сил (метода перемещений) для расчёта статически неопределимых рам и ферм. Он предложил использовать интеграл Мора (также называемый правилом Мора или интегралом Мора — Верещагина) для вычисления перемещений в упругих системах. Интеграл Мора позволяет определить прогибы и углы поворота в балках и рамах путём интегрирования произведений эпюр изгибающих моментов. В 1874 году Мор опубликовал работу «О расчёте статически неопределимых систем», где систематизировал методы решения таких задач.

¶Графическая статика

Развивая идеи своего учителя Карла Кульмана, Мор усовершенствовал методы графической статики — расчёта усилий в фермах и других конструкциях с помощью геометрических построений. Он разработал диаграмму Мора (или план сил Мора) для определения усилий в стержнях ферм, а также методы построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

¶Основные труды

• «О представлении напряжённого состояния с помощью круга» (1882) — первое описание круга Мора.
• «Техническая механика» (1906) — двухтомный учебник, ставший классическим пособием для инженеров.
• «Сопротивление материалов» (1914) — монография, обобщающая методы расчёта прочности и жёсткости.
• «Расчёт статически неопределимых систем» (1874) — работа, заложившая основы современного метода сил.

¶Признание и наследие

• В 1914 году Мор был избран членом-корреспондентом Прусской академии наук.
• Его именем названы кратер на Луне и улица в Дрездене.
• Круг Мора входит в обязательную программу обучения инженеров-строителей и механиков во всех технических вузах мира.
• Теория прочности Мора — Кулона остаётся основным критерием прочности для геотехнических расчётов.

¶Интересные факты

• Мор лично сконструировал и изготовил несколько испытательных машин, в том числе гидравлический пресс для испытания бетона на сжатие.
• В Дрезденском техническом университете до сих пор хранится оригинальный прибор, построенный Мором для демонстрации круга напряжений.
• Интеграл Мора часто называют правилом Верещагина в честь советского учёного А. К. Верещагина, который в 1925 году упростил его вычисление для частных случаев.

¶Источники

• Timoshenko S. P. History of Strength of Materials. — McGraw-Hill, 1953.
• Kurrer K.-E. The History of the Theory of Structures. — Ernst & Sohn, 2008.
• Mohr O. Technische Mechanik. — 2. Aufl. — Berlin: Springer, 1906.
• Mohr O. Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik. — Berlin: Springer, 1914.