Круг Мора¶

Круг Мора — это графический метод представления тензорных величин (напряжений, деформаций, моментов инерции), используемый в механике сплошных сред, сопротивлении материалов, геомеханике и теории пластичности. Представляет собой круговую диаграмму, на которой в координатах «нормальное напряжение — касательное напряжение» отображаются все возможные значения компонент тензора напряжений для данной точки тела при повороте координатных осей. Метод предложен немецким инженером Отто Мором в 1882 году.

¶История

Основы метода были заложены в 1882 году, когда Отто Мор (1835–1918) опубликовал работу «О представлении напряжений в теле с помощью круговых диаграмм». Идея Мора базировалась на более ранних исследованиях Карла Кульмана (1866), который использовал круговые диаграммы для анализа напряжений в балках. Мор обобщил метод на случай объёмного напряжённого состояния и ввёл понятие главных напряжений.

В XX веке круг Мора стал стандартным инструментом в инженерном образовании. В 1920-х годах метод был распространён на анализ деформаций, а в 1950-х — на теорию предельного состояния (критерии прочности Мора — Кулона). В современной механике круг Мора применяется как в аналитических расчётах, так и в численных методах (метод конечных элементов).

¶Геометрическая интерпретация

¶Построение для плоского напряжённого состояния

Для плоского напряжённого состояния (когда одно из трёх главных напряжений равно нулю) круг Мора строится следующим образом:

1. На оси абсцисс откладываются нормальные напряжения σ, на оси ординат — касательные напряжения τ.
2. Отмечаются точки, соответствующие напряжённому состоянию на двух взаимно перпендикулярных площадках (например, σₓ, τₓᵧ и σᵧ, -τₓᵧ).
3. Через эти точки проводится окружность с центром на оси σ. Центр круга находится в точке (σₐᵥ, 0), где σₐᵥ = (σₓ + σᵧ)/2.
4. Радиус круга равен R = √[(σₓ — σᵧ)²/4 + τₓᵧ²].

Любая точка на окружности соответствует напряжённому состоянию на площадке, повёрнутой на угол 2θ относительно исходной. Главные напряжения σ₁ и σ₂ (σ₁ ≥ σ₂) определяются как точки пересечения круга с осью σ: σ₁ = σₐᵥ + R, σ₂ = σₐᵥ — R. Максимальное касательное напряжение τₘₐₓ = R.

¶Построение для объёмного напряжённого состояния

При трёхосном напряжённом состоянии (σ₁, σ₂, σ₃ — главные напряжения, σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃) строится три круга Мора:

• Круг между σ₁ и σ₃ — наибольший, определяет предельные значения напряжений.
• Круги между σ₁ и σ₂, σ₂ и σ₃ — меньшие, соответствуют промежуточным состояниям.

Все возможные комбинации нормальных и касательных напряжений лежат внутри области, ограниченной этими тремя кругами. Наибольшее касательное напряжение τₘₐₓ = (σ₁ — σ₃)/2.

¶Применение

¶Сопротивление материалов

В сопротивлении материалов круг Мора используется для:

• Определения главных напряжений и максимальных касательных напряжений в точке тела.
• Анализа напряжённого состояния при сложном нагружении (изгиб с кручением, растяжение со сдвигом).
• Проверки прочности по различным критериям (например, критерий Треска — Сен-Венана, критерий Мора — Кулона).

¶Геомеханика и механика грунтов

В геомеханике круг Мора является основой для:

• Определения предельного напряжённого состояния грунта по критерию Мора — Кулона.
• Расчёта устойчивости откосов и подпорных стен.
• Анализа напряжений в массиве горных пород.

¶Теория пластичности

В теории пластичности круг Мора применяется для:

• Построения поверхностей текучести (например, условие текучести Мизеса и Треска).
• Анализа деформаций при пластическом течении.

¶Машиностроение

В машиностроении круг Мора используется при:

• Расчёте валов на прочность при совместном действии изгиба и кручения.
• Проектировании деталей, работающих в условиях сложного напряжённого состояния (например, зубчатые колёса, подшипники).

¶Критерии прочности на основе круга Мора

¶Критерий Треска (максимальных касательных напряжений)

Согласно критерию Треска, пластическое течение начинается, когда максимальное касательное напряжение достигает половины предела текучести при одноосном растяжении: τₘₐₓ = σₜ/2. На круге Мора это условие соответствует тому, что радиус наибольшего круга не превышает σₜ/2.

¶Критерий Мора — Кулона

Критерий Мора — Кулона, широко применяемый в механике грунтов, учитывает зависимость прочности от нормального напряжения. Условие прочности записывается как: τ = c + σ·tg φ, где c — сцепление, φ — угол внутреннего трения. На круге Мора это условие изображается прямой линией (огибающей), касательной к кругам предельных напряжений.

¶Критерий Мора

Обобщённый критерий Мора предполагает, что прочность материала определяется огибающей семейства кругов Мора, построенных для различных видов напряжённого состояния (растяжение, сжатие, сдвиг). Огибающая может быть нелинейной (например, параболической).

¶Пример расчёта

Задача. Для точки тела известны компоненты напряжений: σₓ = 100 МПа, σᵧ = 40 МПа, τₓᵧ = 30 МПа. Определить главные напряжения и максимальное касательное напряжение.

Решение:

1. Центр круга: σₐᵥ = (100 + 40)/2 = 70 МПа.
2. Радиус: R = √[(100 — 40)²/4 + 30²] = √(900 + 900) = √1800 ≈ 42,43 МПа.
3. Главные напряжения: σ₁ = 70 + 42,43 = 112,43 МПа; σ₂ = 70 — 42,43 = 27,57 МПа.
4. Максимальное касательное напряжение: τₘₐₓ = R = 42,43 МПа.

Угол поворота главных площадок: tg 2θ = 2τₓᵧ/(σₓ — σᵧ) = 60/60 = 1, откуда θ = 22,5°.

¶Ограничения метода

• Круг Мора применим только для линейно-упругих материалов в рамках гипотезы о сплошности среды.
• Метод не учитывает анизотропию свойств материала (например, в композитах или дереве).
• Для нелинейных материалов (например, пластичных при больших деформациях) круг Мора даёт приближённые результаты.
• При динамических нагрузках (удар, вибрация) требуется учёт инерционных эффектов, что выходит за рамки статического анализа.

¶Интересные факты

• Отто Мор, разработавший круг Мора, также известен работами в области теории упругости, сопротивления материалов и механики грунтов. Он ввёл понятие «главные напряжения» и предложил критерий прочности, носящий его имя.
• Круг Мора используется не только для напряжений, но и для деформаций (круг Мора для деформаций) и моментов инерции (круг Мора для моментов инерции сечения).
• В некоторых странах (например, в Германии) круг Мора называют «диаграммой Мора» или «круговой диаграммой напряжений».
• Метод круга Мора входит в обязательную программу обучения студентов технических специальностей в России и большинстве стран мира.

¶Источники

• Мор О. «О представлении напряжений в теле с помощью круговых диаграмм» (1882).
• Тимошенко С. П. «История науки о сопротивлении материалов» (1953).
• Феодосьев В. И. «Сопротивление материалов» (1979).
• Малинин Н. Н. «Прикладная теория пластичности и ползучести» (1975).
• Терцаги К., Пек Р. «Механика грунтов в инженерной практике» (1967).