Парадокс Монти Холла¶
Парадокс Монти Холла — вероятностная задача, сформулированная на основе телевизионной игры «Let's Make a Deal» («Давайте заключим сделку») с ведущим Монти Холлом. Парадокс демонстрирует, как интуитивные представления о равной вероятности событий расходятся с результатами математического расчёта, и служит одним из самых известных примеров в теории вероятностей.
¶Условие задачи
Участнику предлагается выбрать одну из трёх дверей. За одной находится автомобиль, за двумя — пустота (в оригинальной телепередаче — козёл). После выбора ведущий, который знает расположение приза, открывает одну из оставшихся дверей, за которой скрывается пустота, и предлагает участнику сохранить свой выбор или поменять дверь на оставшуюся закрытой.
Интуитивно кажется, что после открытия одной двери шансы на победу при сохранении и при смене выбора равны — по 1/2. Математический расчёт показывает иное: если участник меняет дверь, вероятность выигрыша составляет 2/3, а если сохраняет выбор — 1/3.
¶Математическое объяснение
Пусть участник выбрал первую дверь. Вероятность того, что автомобиль находится за ней, равна 1/3, а за каждой из двух оставшихся — также 1/3. Ведущий гарантированно открывает дверь без приза, поэтому вся вероятность 2/3, приходящаяся на две невыбранные двери, концентрируется на единственной оставшейся закрытой двери. Смена выбора позволяет «перехватить» эту суммарную вероятность.
Альтернативный способ рассуждения — перебор всех трёх равновероятных исходов:
| Выбор участника | Приз за 1-й дверью | Приз за 2-й | Приз за 3-й |
|---|---|---|---|
| Дверь 1, сохранить выбор | Выигрыш | Проигрыш | Проигрыш |
| Дверь 1, сменить выбор | Проигрыш | Выигрыш | Выигрыш |
При сохранении выбора выигрыш возможен в одном случае из трёх, при смене — в двух.
¶История
Задача получила широкую известность благодаря математику Полу Эрдёшу, который, по свидетельству коллег, не сразу принял правильное решение. В 1975 году Мэрилин воспроизвант Сэвант опубликовала разбор задачи в колонке журнала «Parade»; её ответ — необходимость менять дверь — вызвал волну писем от читателей, включая математиков, настаивавших на равных шансах. Сэвант привела развёрнутое обоснование, поддержанное большинством специалистов по теории вероятностей.
¶Психологический аспект
Парадокс стал предметом исследований в области психологии принятия решений. Эксперименты показывают, что даже после объяснения математики значительная часть участников продолжает настаивать на равных шансах. Одно из объяснений — когнитивное искажение, связанное с неправильной оценкой вероятности после появления новой информации: открытие двери воспринимается как независимое событие, хотя оно детерминировано знаниями ведущего.
¶Применение
Парадокс Монти Холла иллюстрирует принцип Байеса — обновление вероятностей при получении новой информации. Аналогичные схемы встречаются в криптографии, теории игр и анализе данных, где решение принимается при неполной информации, а часть исходов исключается наблюдателем.
¶Интересные факты
- В 1990 году ответ Сэвант вызвал более 10 000 писем, значительная часть — от математиков и докторов наук, отстаивавших ошибочную позицию.
- В 2008 году в журнале «Science» вышла статья, в которой участники эксперимента, игравшие в реальной телевизионной обстановке, в большинстве случаев отказывались менять дверь, хотя стратегия смены выбора статистически выгоднее.
- Парадокс носит имя Монти Холла — ведущего оригинальной телепередачи, который, по его собственным словам, сначала тоже не понимал математической подоплёки задачи.
Источники:
- Сэвант М. «Ask Marilyn» // Parade Magazine, 1990.
- Gillis J. «Monty Hall Problem» // The New York Times, 2008.
- Rosenhouse J. «The Monty Hall Problem: The Remarkable Story of Math's Most Contentious Brain Teaser», Oxford University Press, 2009.