Первая квадратичная форма

Первая квадратичная форма — это одно из фундаментальных понятий дифференциальной геометрии, представляющее собой метрический тензор на поверхности, заданный в координатах. Она позволяет измерять длины кривых, углы между ними и площади на поверхности, не выходя за её пределы, то есть используя только внутреннюю геометрию. Первая квадратичная форма является положительно определённой квадратичной формой, коэффициенты которой зависят от параметризации поверхности.

Определение и обозначения

Пусть поверхность \( S \) задана параметрически: \(\mathbf{r}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))\), где \( u \) и \( v \) — координаты на поверхности. Векторы \(\mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\) и \(\mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\) образуют базис в касательной плоскости к поверхности в каждой точке. Первая квадратичная форма \( I \) определяется как скалярный квадрат дифференциала радиус-вектора:

\[ I = d\mathbf{r} \cdot d\mathbf{r} = (\mathbf{r}_u du + \mathbf{r}_v dv) \cdot (\mathbf{r}_u du + \mathbf{r}_v dv) = E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2, \]

где коэффициенты вычисляются как скалярные произведения:

\[ E = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u, \quad F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v, \quad G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v. \]

Коэффициенты \( E, F, G \) являются функциями координат \( u, v \) и зависят от выбора параметризации. Для регулярных поверхностей (где \(\mathbf{r}_u\) и \(\mathbf{r}_v\) линейно независимы) дискриминант \( EG - F^2 > 0 \), что обеспечивает положительную определённость формы.

Геометрический смысл коэффициентов

Коэффициенты первой квадратичной формы имеют непосредственную геометрическую интерпретацию:

• \( E \) — квадрат длины касательного вектора \(\mathbf{r}_u\), то есть \( E = |\mathbf{r}_u|^2 \).
• \( G \) — квадрат длины касательного вектора \(\mathbf{r}_v\), то есть \( G = |\mathbf{r}_v|^2 \).
• \( F \) — скалярное произведение \(\mathbf{r}_u\) и \(\mathbf{r}_v\), связанное с углом \(\theta\) между ними: \( \cos\theta = \frac{F}{\sqrt{EG}} \).

Если координатная сеть ортогональна (то есть \(\mathbf{r}_u \perp \mathbf{r}_v\)), то \( F = 0 \), и первая квадратичная форма принимает вид \( I = E\, du^2 + G\, dv^2 \).

Применение для измерения длин, углов и площадей

Длина кривой на поверхности

Пусть на поверхности задана кривая \(\gamma(t) = \mathbf{r}(u(t), v(t))\), где \( t \in [a, b] \). Её длина \( L \) вычисляется через первую квадратичную форму:

\[ L = \int_a^b \sqrt{E\, \dot{u}^2 + 2F\, \dot{u}\dot{v} + G\, \dot{v}^2}\, dt, \]

где \(\dot{u} = \frac{du}{dt}\), \(\dot{v} = \frac{dv}{dt}\). Это обобщение формулы длины плоской кривой на случай поверхности.

Угол между кривыми

Угол \(\alpha\) между двумя кривыми на поверхности, пересекающимися в точке, определяется через скалярное произведение их касательных векторов. Если кривые заданы дифференциалами \((du_1, dv_1)\) и \((du_2, dv_2)\), то:

\[ \cos\alpha = \frac{E\, du_1 du_2 + F\, (du_1 dv_2 + du_2 dv_1) + G\, dv_1 dv_2}{\sqrt{E\, du_1^2 + 2F\, du_1 dv_1 + G\, dv_1^2} \cdot \sqrt{E\, du_2^2 + 2F\, du_2 dv_2 + G\, dv_2^2}}. \]

В частности, угол между координатными линиями \( u = \text{const} \) и \( v = \text{const} \) определяется из \( \cos\theta = \frac{F}{\sqrt{EG}} \).

Площадь области на поверхности

Площадь \( A \) области \( D \) на поверхности, заданной в координатах \( (u, v) \), вычисляется по формуле:

\[ A = \iint_D \sqrt{EG - F^2}\, du\, dv. \]

Величина \( \sqrt{EG - F^2} \) равна модулю векторного произведения \( |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| \), что соответствует площади параллелограмма, натянутого на касательные векторы.

Свойства и инвариантность

Первая квадратичная форма является внутренним (внутренне-геометрическим) объектом: она не зависит от того, как поверхность вложена в трёхмерное пространство, а определяется только метрикой на самой поверхности. Это свойство лежит в основе теоремы Гаусса о неизменности гауссовой кривизны при изометрических деформациях (Theorema Egregium). При замене параметризации \((u, v) \to (\tilde{u}, \tilde{v})\) коэффициенты \( E, F, G \) преобразуются по закону тензора (ковариантного тензора второго ранга), что гарантирует инвариантность самой формы.

Примеры для простых поверхностей

Плоскость

Для плоскости, заданной как \(\mathbf{r}(u, v) = (u, v, 0)\), имеем \(\mathbf{r}_u = (1, 0, 0)\), \(\mathbf{r}_v = (0, 1, 0)\). Тогда \( E = 1 \), \( F = 0 \), \( G = 1 \), и первая квадратичная форма совпадает с евклидовой метрикой: \( I = du^2 + dv^2 \).

Сфера радиуса \( R \)

В сферических координатах \((\theta, \varphi)\), где \(\theta\) — широта (от 0 до \(\pi\)), \(\varphi\) — долгота (от 0 до \(2\pi\)), параметризация: \(\mathbf{r}(\theta, \varphi) = (R\sin\theta\cos\varphi, R\sin\theta\sin\varphi, R\cos\theta)\). Вычисляем:

\[ E = R^2, \quad F = 0, \quad G = R^2\sin^2\theta. \]

Первая квадратичная форма: \( I = R^2\, d\theta^2 + R^2\sin^2\theta\, d\varphi^2 \). Отсюда длина дуги меридиана (\(d\varphi = 0\)) равна \( R\, d\theta \), а длина дуги параллели (\(d\theta = 0\)) — \( R\sin\theta\, d\varphi \).

Цилиндр радиуса \( R \)

Для цилиндра \(\mathbf{r}(u, v) = (R\cos u, R\sin u, v)\), где \( u \in [0, 2\pi) \), \( v \in \mathbb{R} \), имеем \(\mathbf{r}_u = (-R\sin u, R\cos u, 0)\), \(\mathbf{r}_v = (0, 0, 1)\). Тогда \( E = R^2 \), \( F = 0 \), \( G = 1 \), и \( I = R^2\, du^2 + dv^2 \). Это соответствует метрике плоскости, что объясняет возможность развёртки цилиндра на плоскость без искажения длин.

Связь с другими геометрическими понятиями

Первая квадратичная форма тесно связана со второй квадратичной формой, которая описывает внешнюю кривизну поверхности. Вместе они определяют гауссову и среднюю кривизны. В римановой геометрии первая квадратичная форма является частным случаем римановой метрики на двумерном многообразии. В теории поверхностей она используется для классификации точек (эллиптические, гиперболические, параболические) и для изучения геодезических линий.

История

Понятие первой квадратичной формы было введено Карлом Фридрихом Гауссом в его работе «Общие исследования о кривых поверхностях» (1827 год). Гаусс показал, что все внутренние свойства поверхности (например, гауссова кривизна) могут быть выражены через коэффициенты \( E, F, G \) и их производные. Это открытие заложило основы дифференциальной геометрии и привело к созданию римановой геометрии.

Источники

• Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. — М.: Наука, 1974.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — М.: ГИТТЛ, 1956.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
• Гаусс К. Ф. Общие исследования о кривых поверхностях (перевод). — В кн.: Основания геометрии. — М.: ГИТТЛ, 1956.