Метрический тензор

Метрический тензор — это фундаментальный геометрический объект, определяющий внутреннюю геометрию пространства (или многообразия). Он задаёт способ измерения расстояний, углов и объёмов, а также позволяет устанавливать соответствие между векторами и ковекторами (поднимать и опускать индексы). Метрический тензор является симметричным тензором второго ранга (валентности (0,2) или (2,0) в зависимости от контекста) и служит ключевым понятием в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и многих разделах математической физики.

История и происхождение

Понятие метрического тензора возникло в XIX веке в рамках развития дифференциальной геометрии. Основы заложил Карл Фридрих Гаусс в своей работе «Общие исследования о кривых поверхностях» (1827), где он ввёл первую квадратичную форму — выражение для длины дуги на поверхности. Гаусс показал, что внутренняя геометрия поверхности полностью определяется этой формой.

В середине XIX века Бернхард Риман обобщил идеи Гаусса на пространства произвольной размерности. В знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854) он ввёл понятие риманова многообразия, метрика которого задаётся симметричным тензором второго ранга. Этот тензор впоследствии назвали римановой метрикой, или метрическим тензором.

Современная тензорная запись метрики была разработана в начале XX века. Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита создали тензорное исчисление, в котором метрический тензор играет центральную роль. Альберт Эйнштейн использовал этот аппарат в общей теории относительности (1915), где метрический тензор описывает гравитационное поле.

Определение и математическая формализация

Метрический тензор \( g \) на дифференцируемом многообразии \( M \) — это симметричное, невырожденное, дважды ковариантное тензорное поле. В локальных координатах \( x^i \) он записывается в виде матрицы \( g_{ij} \) размерности \( n \times n \), где \( n \) — размерность многообразия.

Свойства метрического тензора

1. Симметричность: \( g_{ij} = g_{ji} \) для всех \( i, j \).
2. Невырожденность: определитель матрицы \( \det(g_{ij}) \neq 0 \) в каждой точке.
3. Положительная определённость (для римановой метрики): для любого ненулевого вектора \( v \) выполняется \( g(v, v) > 0 \).

Для псевдоримановой метрики (например, в теории относительности) свойство положительной определённости заменяется на требование, чтобы сигнатура метрики была постоянной. В общей теории относительности используется метрика сигнатуры \( (1, 3) \) или \( (3, 1) \).

Длина дуги и угол

Метрический тензор позволяет вычислить длину кривой \( \gamma(t) \) с координатами \( x^i(t) \):

\[ L = \int \sqrt{g_{ij} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt}} \, dt \]

Угол \( \theta \) между двумя векторами \( u \) и \( v \) в точке определяется как:

\[ \cos \theta = \frac{g(u, v)}{\sqrt{g(u, u) g(v, v)}} \]

Классификация метрических тензоров

По знакоопределённости

• Риманова метрика: положительно определённая. Используется в евклидовой геометрии, геометрии поверхностей, римановой геометрии.
• Псевдориманова метрика: не является знакоопределённой. Примеры: метрика Минковского в специальной теории относительности (сигнатура \( (1, 3) \)), метрика Шварцшильда в общей теории относительности.

По постоянству

• Плоская метрика: метрический тензор может быть приведён к постоянному виду (например, \( g_{ij} = \delta_{ij} \) для евклидова пространства или \( g_{ij} = \text{diag}(-1, 1, 1, 1) \) для пространства Минковского).
• Кривая метрика: компоненты тензора зависят от координат, что указывает на кривизну пространства.

Компоненты в различных системах координат

Метрический тензор в трёхмерном евклидовом пространстве в декартовых координатах имеет вид единичной матрицы:

\[ g_{ij} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

В сферических координатах \( (r, \theta, \phi) \) метрический тензор записывается как:

\[ g_{ij} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta \end{pmatrix} \]

В пространстве-времени общей теории относительности метрический тензор Шварцшильда для внешнего поля массивного тела имеет вид:

\[ g_{ij} = \text{diag}\left( -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right), \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}, r^2, r^2 \sin^2 \theta \right) \]

где \( G \) — гравитационная постоянная, \( M \) — масса тела, \( c \) — скорость света.

Поднимание и опускание индексов

Метрический тензор позволяет преобразовывать ковариантные индексы в контравариантные и обратно. Если \( v^i \) — контравариантный вектор, то соответствующий ему ковариантный вектор \( v_i \) получается свёрткой:

\[ v_i = g_{ij} v^j \]

Обратная операция использует обратный метрический тензор \( g^{ij} \), который удовлетворяет условию \( g^{ik} g_{kj} = \delta^i_j \):

\[ v^i = g^{ij} v_j \]

Эта операция называется подниманием и опусканием индексов и широко применяется в тензорном анализе.

Применение в физике

Общая теория относительности

В общей теории относительности метрический тензор является динамической переменной, описывающей гравитационное поле. Уравнения Эйнштейна связывают метрический тензор с распределением материи и энергии:

\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \]

где \( R_{\mu\nu} \) — тензор Риччи, \( R \) — скалярная кривизна, \( T_{\mu\nu} \) — тензор энергии-импульса.

Специальная теория относительности

В специальной теории относительности используется метрика Минковского:

\[ \eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, 1, 1, 1) \]

Она описывает плоское пространство-время и лежит в основе лоренц-инвариантности.

Классическая механика и электродинамика

Метрический тензор применяется для формулировки физических законов в ковариантной форме. Например, лагранжиан свободной частицы в искривлённом пространстве пропорционален интервалу \( ds = \sqrt{g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu} \). В электродинамике метрика используется для поднимания индексов у тензора электромагнитного поля \( F_{\mu\nu} \).

Связь с кривизной

Метрический тензор определяет связность Леви-Чивиты — единственную аффинную связность, сохраняющую метрику и не имеющую кручения. Из связности вычисляется тензор кривизны Римана, который характеризует отклонение геометрии многообразия от плоской. Таким образом, метрический тензор является исходным объектом для изучения кривизны.

Примеры метрических тензоров

• Евклидова метрика: \( g_{ij} = \delta_{ij} \) в декартовых координатах.
• Метрика сферы: \( g_{ij} = \text{diag}(R^2, R^2 \sin^2 \theta) \) в координатах \( (\theta, \phi) \), где \( R \) — радиус сферы.
• Метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера: используется в космологии для описания однородной и изотропной Вселенной:

\[ g_{\mu\nu} = \text{diag}\left(-c^2, a(t)^2 \left( \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 d\Omega^2 \right) \right) \]

где \( a(t) \) — масштабный фактор, \( k \) — параметр кривизны.

Интересные факты

• Метрический тензор не является инвариантным объектом: его компоненты зависят от выбора системы координат, однако сам тензор как геометрический объект инвариантен.
• В общей теории относительности метрический тензор может быть негладким или сингулярным в некоторых точках (например, в центре чёрной дыры), что указывает на физическую сингулярность.
• Понятие метрического тензора обобщается на бесконечномерные пространства в функциональном анализе и квантовой теории поля.

Источники

• Гаусс К. Ф. «Общие исследования о кривых поверхностях» (1827).
• Риман Б. «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854).
• Риччи-Курбастро Г., Леви-Чивита Т. «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения» (1901).
• Эйнштейн А. «Основы общей теории относительности» (1916).
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. «Современная геометрия: методы и приложения» (1979).
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. «Гравитация» (1973).