Плотность вероятности в теории вероятностей¶
Плотность вероятности — функция, описывающая распределение вероятностей непрерывной случайной величины. Если случайная величина задана на числовой прямой и существует неотрицательная функция \(f(x)\) такая, что для любого интервала вероятность попадания величины в этот интервал равна интегралу от \(f(x)\) по этому интервалу, то \(f(x)\) называют плотностью распределения вероятностей. Плотность применяется только к непрерывным величинам и является одним из центральных понятий теории вероятностей и математической статистики.
¶Определение
Пусть \(X\) — непрерывная случайная величина с функцией распределения \(F(x) = P(X \le x)\). Если существует неотрицательная интегрируемая функция \(f(x)\), для которой
\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt, \]
то \(f(x)\) называется плотностью вероятности (плотностью распределения). Тогда вероятность попадания в интервал \([a, b]\) вычисляется как
\[ P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx. \]
Для непрерывной величины вероятность принять конкретное значение равна нулю, поэтому знаки строгого и нестрогого неравенства на результат не влияют.
¶Свойства
- Неотрицательность: \(f(x) \ge 0\) для всех \(x\).
- Условие нормировки: интеграл по всей прямой равен единице, \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1\).
- Связь с функцией распределения: в точках непрерывности \(f(x) = F'(x)\), то есть плотность есть производная функции распределения.
- Плотность не является вероятностью: её значения могут превышать единицу, вероятностный смысл имеет только интеграл по интервалу.
¶Основные распределения
Плотность удобно задаёт закон распределения. Наиболее известные примеры приведены в таблице.
| Распределение | Плотность \(f(x)\) | Область |
|---|---|---|
| Равномерное | \(1/(b-a)\) | \(x \in [a, b]\) |
| Нормальное | \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}\) | вся прямая |
| Показательное | \(\lambda e^{-\lambda x}\) | \(x \ge 0\) |
| Коши | \(\frac{1}{\pi(1+x^2)}\) | вся прямая |
Нормальное распределение занимает особое место: согласно центральной предельной теореме, сумма большого числа независимых слагаемых приближается к нему по распределению. Показательное распределение часто описывает время безотказной работы и интервалы между событиями в простейшем потоке.
¶Числовые характеристики
Через плотность выражаются основные характеристики величины. Математическое ожидание:
\[ E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx, \]
\[ D[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E[X])^2 f(x)\,dx. \]
Аналогично вычисляются моменты высших порядков, медиана, мода и квантили. Мода непрерывного распределения — точка максимума плотности.
¶Многомерный случай
Для системы непрерывных величин вводится совместная плотность \(f(x, y)\). Вероятность попадания точки в область равна двойному интегралу от плотности по этой области. Частные плотности отдельных величин получаются интегрированием совместной плотности по «лишней» переменной. Величины независимы тогда и только тогда, когда совместная плотность равна произведению частных плотностей.
¶Оценка и применение
На практике плотность неизвестна и оценивается по выборке. Гистограмма даёт грубое приближение, ядерная оценка плотности сглаживает данные, строя сумму колоколообразных функций вокруг наблюдений. Метод максимального правдоподобия подбирает параметры предполагаемой плотности.
Плотность вероятности применяется в физике (распределение скоростей молекул, квантовомеханическая плотность вероятности), в технике при расчёте надёжности, в экономике и актуарных расчётах, в обработке сигналов и машинном обучении. В квантовой механике квадрат модуля волновой функции задаёт плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства.
¶Связь с дискретным случаем
Аналогом плотности для дискретной величины служит набор вероятностей отдельных значений. Плотность можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания в малый интервал к его длине:
\[ f(x) \approx \frac{P(x \le X \le x + \Delta x)}{\Delta x}. \]
Эта интерпретация объясняет название: плотность описывает, сколько вероятности приходится на единицу длины.
Источники: Гнеденко Б. В. «Курс теории вероятностей»; Ширяев А. Н. «Вероятность»; Вентцель Е. С. «Теория вероятностей».