Полилинейная функция

Полилинейная функция — это функция нескольких векторных аргументов, линейная по каждому из них при фиксированных остальных. В линейной алгебре и функциональном анализе полилинейные функции обобщают понятие линейного функционала и являются основой для определения тензоров, определителей и билинейных форм.

Определение

Пусть \(V_1, V_2, \dots, V_k\) и \(W\) — векторные пространства над одним и тем же полем \(\mathbb{F}\) (обычно \(\mathbb{R}\) или \(\mathbb{C}\)). Функция \[ f: V_1 \times V_2 \times \dots \times V_k \to W \] называется полилинейной (или \(k\)-линейной), если для каждого \(i = 1, \dots, k\) и любых фиксированных \(v_j \in V_j\) (\(j \neq i\)) отображение \[ v_i \mapsto f(v_1, \dots, v_i, \dots, v_k) \] является линейным. То есть для любых \(u, v \in V_i\) и любого скаляра \(\alpha \in \mathbb{F}\) выполняются условия аддитивности и однородности: \[ f(v_1, \dots, u+v, \dots, v_k) = f(v_1, \dots, u, \dots, v_k) + f(v_1, \dots, v, \dots, v_k), \] \[ f(v_1, \dots, \alpha u, \dots, v_k) = \alpha f(v_1, \dots, u, \dots, v_k). \]

Если \(W = \mathbb{F}\), то функция называется полилинейным функционалом (или \(k\)-линейной формой). В случае \(k=2\) говорят о билинейной функции, при \(k=3\) — о трилинейной функции и т.д.

Примеры

• Скалярное произведение в евклидовом пространстве \(\mathbb{R}^n\): \(\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i\) — билинейная функция (симметричная и положительно определённая).
• Определитель квадратной матрицы размера \(n \times n\) как функция её столбцов (или строк) является полилинейной и кососимметрической (альтернирующей) \(n\)-линейной формой.
• Векторное произведение в \(\mathbb{R}^3\): \([a, b]\) — билинейная функция, принимающая значения в \(\mathbb{R}^3\) (кососимметрическая).
• Смешанное произведение трёх векторов в \(\mathbb{R}^3\): \((a, b, c) = a \cdot (b \times c)\) — трилинейная форма.

Свойства

Линейность по каждому аргументу

Основное свойство полилинейной функции — её раздельная линейность. Это означает, что для каждого аргумента функция ведёт себя как линейное отображение, но в целом не является линейной (например, \(f(\alpha u, \beta v) = \alpha \beta f(u, v)\), а не \(\alpha f(u, v) + \beta f(u, v)\)).

Нулевое значение при нулевом аргументе

Если хотя бы один из аргументов равен нулевому вектору, то значение полилинейной функции равно нулевому вектору в \(W\) (или нулю поля, если \(W = \mathbb{F}\)). Это следует из линейности по данному аргументу: \(f(v_1, \dots, 0, \dots, v_k) = 0\).

Симметрия и кососимметрия

Полилинейная функция может обладать дополнительными свойствами симметрии:

• Симметричная: значение не меняется при перестановке любых двух аргументов. Например, скалярное произведение симметрично: \(\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle\).
• Кососимметрическая (альтернирующая): при перестановке двух аргументов знак меняется на противоположный. Например, определитель кососимметричен: \(\det(\dots, v_i, \dots, v_j, \dots) = -\det(\dots, v_j, \dots, v_i, \dots)\). Для кососимметрической функции, если два аргумента равны, значение равно нулю.

Полилинейность и тензоры

Пространство всех полилинейных функций из \(V_1 \times \dots \times V_k\) в \(\mathbb{F}\) изоморфно тензорному произведению двойственных пространств: \[ \text{Mult}(V_1, \dots, V_k; \mathbb{F}) \cong V_1^ \otimes \dots \otimes V_k^. \] Таким образом, полилинейные формы — это ковариантные тензоры ранга \(k\). Если \(V_1 = \dots = V_k = V\), то полилинейные функции образуют пространство \(T^k(V^*)\) — ковариантных тензоров валентности \(k\).

Выражение через базис

Если в каждом пространстве \(V_i\) выбран базис \(\{e^{(i)}_1, \dots, e^{(i)}_{n_i}\}\), то полилинейная функция \(f\) однозначно определяется своими значениями на наборах базисных векторов: \[ f(e^{(1)}_{j_1}, \dots, e^{(k)}_{j_k}) = a_{j_1 \dots j_k}. \] Тогда для произвольных векторов \(v_i = \sum_{j=1}^{n_i} x^{(i)}_j e^{(i)}_j\) имеем: \[ f(v_1, \dots, v_k) = \sum_{j_1=1}^{n_1} \dots \sum_{j_k=1}^{n_k} a_{j_1 \dots j_k} x^{(1)}_{j_1} \dots x^{(k)}_{j_k}. \] Коэффициенты \(a_{j_1 \dots j_k}\) называются компонентами полилинейной функции в данном базисе и образуют многомерный массив (тензор).

Классификация

По числу аргументов

• Билинейная функция (\(k=2\)): наиболее изученный случай. Примеры: скалярное произведение, билинейные формы (симметрические, кососимметрические, знакопеременные).
• Трилинейная функция (\(k=3\)): смешанное произведение, тройное векторное произведение.
• Полилинейная функция высшего порядка (\(k>3\)): встречается в теории определителей, тензорном анализе, дифференциальной геометрии (например, кривизна Римана как 4-линейная форма).

По типу значений

• Скалярные (\(W = \mathbb{F}\)): полилинейные формы.
• Векторные (\(W\) — произвольное векторное пространство): например, векторное произведение в \(\mathbb{R}^3\) — билинейная функция со значениями в \(\mathbb{R}^3\).

По свойствам симметрии

• Симметричные: \(f(v_1, \dots, v_k) = f(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)})\) для любой перестановки \(\sigma\).
• Кососимметрические: \(f(v_1, \dots, v_k) = \text{sgn}(\sigma) f(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)})\).
• Альтернирующие: \(f(v_1, \dots, v_k) = 0\), если хотя бы два аргумента равны. Для полей характеристики не 2 альтернирующие функции совпадают с кососимметрическими.

По области определения

• Полилинейные функции на конечномерных пространствах: основная область применения в линейной алгебре.
• Полилинейные функции на бесконечномерных пространствах: изучаются в функциональном анализе, часто с дополнительными условиями непрерывности (например, непрерывные билинейные формы в гильбертовых пространствах).

Применение

Линейная алгебра и теория определителей

Определитель матрицы — классический пример кососимметрической полилинейной формы. Его полилинейность лежит в основе свойств: \(\det(A+B) \neq \det A + \det B\), но \(\det\) линеен по каждому столбцу. Полилинейность используется при вычислении определителей разложением по строке или столбцу.

Тензорное исчисление

В физике и механике полилинейные функции описывают физические величины, не зависящие от выбора системы координат. Например, тензор напряжений, тензор деформаций, метрический тензор в общей теории относительности — это билинейные формы. Полилинейные функции высших рангов используются в теории упругости (тензор упругости — 4-линейная функция) и дифференциальной геометрии (тензор кривизны Римана).

Анализ и дифференциальное исчисление

В многомерном анализе вторая производная функции \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) в точке — это симметричная билинейная форма (гессиан). Производные высших порядков являются симметричными полилинейными формами (например, третья производная — трилинейная форма). Полилинейные функции также используются в теории рядов Тейлора для функций нескольких переменных.

Функциональный анализ

В теории операторов и гильбертовых пространств изучаются непрерывные билинейные и полилинейные формы. Например, скалярное произведение — непрерывная билинейная форма. Полилинейные формы играют роль в теории интерполяции, спектральной теории и квантовой механике (где наблюдаемые — эрмитовы билинейные формы).

Компьютерные науки и машинное обучение

Полилинейные функции используются в тензорных разложениях (например, разложение Такера, CP-разложение) для сжатия данных, анализа многомерных массивов (например, видео, гиперспектральные изображения). В нейронных сетях полилинейные слои (например, билинейные сети) применяются для моделирования взаимодействий между признаками.

Связь с другими понятиями

• Линейная функция — частный случай полилинейной при \(k=1\).
• Мультилинейное отображение — синоним полилинейной функции.
• Тензор — полилинейная функция, рассматриваемая как геометрический объект, инвариантный относительно замены базиса.
• Альтернирующая полилинейная функция — основа для внешней алгебры (алгебры Грассмана) и дифференциальных форм.
• Симметричная полилинейная функция — связана с симметрической алгеброй и полиномиальными отображениями.

Источники

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2011.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Добросвет, 1998.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986.