Правило суммирования Эйнштейна

Правило суммирования Эйнштейна (соглашение Эйнштейна, нотация Эйнштейна) — это соглашение в тензорном исчислении и линейной алгебре, упрощающее запись сумм по повторяющимся индексам. Согласно этому правилу, если в одночленном выражении один и тот же индекс встречается дважды — один раз как верхний (контравариантный) и один раз как нижний (ковариантный) — то по этому индексу подразумевается суммирование по всем его возможным значениям (обычно от 1 до n, где n — размерность пространства). Знак суммирования (Σ) при этом опускается.

История возникновения

Правило было введено Альбертом Эйнштейном в 1916 году в работе «Основы общей теории относительности» (Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie). Эйнштейн заметил, что в выкладках тензорного анализа знаки суммирования многократно повторяются, загромождая формулы. Он предложил опускать знак Σ, подразумевая суммирование по повторяющимся индексам. Впоследствии это соглашение стало стандартом в дифференциальной геометрии, теории поля, механике сплошных сред и других областях физики и математики.

Основные положения

Понятие немого индекса

Индекс, который встречается в выражении дважды (один раз вверху и один раз внизу), называется немым (или фиктивным) индексом. По нему производится суммирование. Немой индекс можно переименовывать без изменения смысла выражения. Например: \[ a_i b^i = a_j b^j = a_k b^k \]

Индекс, встречающийся только один раз в каждом члене выражения, называется свободным. Свободный индекс не суммируется и должен быть одинаковым во всех членах уравнения. Количество свободных индексов определяет ранг тензора.

Правило для верхних и нижних индексов

В рамках стандартного соглашения суммирование производится только по паре «верхний + нижний» индекс. Суммирование по двум одинаковым верхним или двум одинаковым нижним индексам не подразумевается. Это различие отражает контравариантную и ковариантную природу тензоров:

• Верхние (контравариантные) индексы — компоненты векторов, преобразующиеся обратно преобразованию базиса.
• Нижние (ковариантные) индексы — компоненты ковекторов (линейных форм), преобразующиеся как базис.

Однако в евклидовом пространстве с ортонормированным базисом, где метрика является единичной матрицей, различие между верхними и нижними индексами часто игнорируется, и суммирование может производиться по любым повторяющимся индексам (так называемая «декартова нотация»).

Диапазон суммирования

По умолчанию суммирование ведётся по всем значениям индекса от 1 до размерности пространства (чаще всего 3 для трёхмерного пространства или 4 для пространства-времени Минковского). Если размерность иная, это должно быть оговорено отдельно.

Примеры использования

Скалярное произведение векторов

В трёхмерном евклидовом пространстве скалярное произведение двух векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) в декартовых координатах записывается как: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = \sum_{i=1}^3 a_i b_i \] С использованием правила Эйнштейна (если игнорировать верх/низ): \(a_i b_i\) подразумевает суммирование по i.

В релятивистской записи с учётом метрики: \(a^\mu b_\mu = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3\).

След матрицы

След квадратной матрицы \(A\) (сумма диагональных элементов) в нотации Эйнштейна записывается как \(A^i_i\) (суммирование по i).

Умножение матрицы на вектор

Компонента произведения матрицы \(A\) на вектор \(x\): \((A x)^i = A^i_j x^j\). Здесь j — немой индекс (суммируется), i — свободный.

Дивергенция векторного поля

В трёхмерном пространстве дивергенция вектора \(\mathbf{v}\) записывается как \(\partial_i v^i\) (суммирование по i), где \(\partial_i = \frac{\partial}{\partial x^i}\).

Преимущества и недостатки

Преимущества

• Компактность записи. Многие формулы, особенно в общей теории относительности, становятся значительно короче.
• Явное указание тензорной природы. Соглашение подчёркивает ковариантность и контравариантность величин.
• Упрощение алгебраических преобразований. Переименование немых индексов и свёртка тензоров выполняются естественно.

Недостатки

• Неоднозначность при отсутствии метрики. В чистых векторных пространствах без скалярного произведения различие верхних и нижних индексов может быть неочевидным.
• Ошибки при ручных вычислениях. Неявное суммирование может привести к путанице, если индекс появляется более двух раз (что запрещено правилом, но иногда встречается в неаккуратных записях).
• Требование к обучению. Новичкам требуется время, чтобы привыкнуть к автоматическому суммированию.

Модификации и расширения

Соглашение о суммировании по одинаковым индексам

В некоторых разделах физики (например, в квантовой механике при работе с бра- и кет-векторами) используется модифицированное правило: суммирование производится по любым повторяющимся индексам, независимо от их положения. Однако это редко применяется в тензорном анализе.

Правило для производных

В дифференциальной геометрии часто используется запись \(\partial_\mu\) для частной производной по координате \(x^\mu\). При этом \(\partial_\mu A^\mu\) означает дивергенцию (свёртку производной с векторным полем).

Соглашение о суммировании в программировании

В библиотеках для научных вычислений (например, NumPy в Python) реализована операция einsum, которая позволяет задавать тензорные свёртки в стиле Эйнштейна. Например, np.einsum('ij,jk->ik', A, B) выполняет матричное умножение.

Критика и альтернативы

Некоторые математики критикуют правило Эйнштейна за то, что оно скрывает явную сумму и может затруднить понимание начинающими. В учебной литературе по линейной алгебре часто предпочитают явно выписывать знак Σ. Однако в профессиональной физико-математической литературе соглашение является общепринятым.

Альтернативой является индексная нотация с явными суммами, которая используется в большинстве учебников по линейной алгебре для нематематических специальностей. В тензорном анализе также применяется безындексная (матричная) запись, но она не всегда удобна для свёрток высших рангов.

Интересные факты

• Сам Эйнштейн называл это соглашение «величайшим достижением в своей жизни» (в шутку), имея в виду, что оно сэкономило ему огромное количество времени при записи формул.
• В некоторых старых учебниках правило Эйнштейна называют «соглашением о суммировании» или «нотацией Эйнштейна».
• В трёхмерной векторной алгебре правило Эйнштейна позволяет компактно записывать векторное произведение с использованием символа Леви-Чивиты: \((\mathbf{a} \times \mathbf{b})_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k\).

Источники

• Einstein, A. (1916). Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. Annalen der Physik, 354(7), 769–822.
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. (1977). Гравитация. Том 1. М.: Мир.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. (1986). Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1973). Теория поля. М.: Наука.
• Шутц Б. (1985). Геометрические методы математической физики. М.: Мир.