Правило трёх сигм

Правило трёх сигм — это эмпирическое правило в математической статистике, утверждающее, что для нормального распределения (или распределения, близкого к нему) практически все значения случайной величины лежат в интервале от среднего арифметического (μ) минус три стандартных отклонения (σ) до среднего плюс три стандартных отклонения (μ ± 3σ). Вероятность того, что значение выйдет за пределы этого интервала, составляет менее 0,3 % (примерно 1/370). Правило широко используется в статистическом контроле качества, теории вероятностей, при обработке экспериментальных данных и в инженерии для оценки границ нормы и выявления выбросов.

Формулировка и математическое обоснование

Правило трёх сигм является частным случаем правила 68–95–99,7 (или эмпирического правила), которое описывает долю значений, попадающих в интервалы, кратные стандартному отклонению от среднего, для нормального распределения:

• μ ± 1σ — содержит ≈ 68,27 % всех значений;
• μ ± 2σ — содержит ≈ 95,45 % всех значений;
• μ ± 3σ — содержит ≈ 99,73 % всех значений.

Таким образом, лишь 0,27 % наблюдений (или 1/370) оказываются за пределами интервала μ ± 3σ. Для нормального распределения с параметрами N(μ, σ²) вероятность выхода за тройную сигму вычисляется через интеграл функции плотности вероятности и равна 2·Φ(−3) ≈ 0,0027, где Φ — функция стандартного нормального распределения.

Связь с правилом 68–95–99,7

Правило 68–95–99,7 — это более общая формулировка, которая включает правило трёх сигм как частный случай для k=3. Оно справедливо только для строго нормального распределения. Правило трёх сигм часто применяется и к распределениям, которые лишь приблизительно нормальны (например, к выборочным распределениям с большим объёмом выборки), однако точность оценки снижается при сильных отклонениях от нормальности.

История

Впервые эмпирическое правило, связывающее стандартное отклонение с долей наблюдений, было сформулировано в конце XIX — начале XX века в работах статистиков, занимавшихся теорией ошибок. Одним из первых, кто обратил внимание на практическую значимость интервала μ ± 3σ, был американский инженер и статистик Уолтер Шухарт (Walter Shewhart). В 1920-х годах, работая в Bell Laboratories, Шухарт разработал концепцию статистического управления процессами (SPC) и предложил использовать контрольные карты, на которых границы регулирования устанавливались на расстоянии 3σ от среднего. Шухарт эмпирически обосновал, что для большинства производственных процессов выход за пределы трёх сигм свидетельствует о наличии особой (нестабильной) причины вариации, требующей вмешательства. Таким образом, правило трёх сигм стало фундаментом современного контроля качества.

Применение

Контроль качества и управление процессами

Наиболее известное и массовое применение правило трёх сигм получило в статистическом управлении процессами (SPC). На контрольных картах Шухарта проводятся верхняя (UCL) и нижняя (LCL) границы регулирования, которые рассчитываются как μ ± 3σ. Если точка на карте выходит за эти границы, процесс считается «вышедшим из-под контроля» — это сигнал о наличии особой причины вариации (например, поломка оборудования, ошибка оператора, изменение сырья). В рамках концепции «Шести сигм» (Six Sigma) допускается, что процесс может быть смещён на 1,5σ, что даёт около 3,4 дефектов на миллион возможностей, однако базовое правило трёх сигм остаётся основой для первичного анализа стабильности.

Обработка экспериментальных данных и выявление выбросов

В научных исследованиях и инженерной практике правило трёх сигм используется для грубой идентификации выбросов (аномальных значений). Если измеренное значение отклоняется от среднего более чем на 3σ, его часто считают подозрительным и подвергают дополнительной проверке. Однако этот метод не является строгим критерием: для малых выборок (n < 10) он может давать ложные срабатывания, а для больших — пропускать выбросы. Поэтому в современной статистике предпочитают более робастные методы (например, критерий Тьюки, основанный на межквартильном размахе).

Финансовый риск-менеджмент

В финансах правило трёх сигм применяется для оценки вероятности экстремальных движений цен активов. Если доходность актива распределена нормально (или логнормально), то вероятность падения цены более чем на 3σ от среднего за один период мала (менее 0,3 %). Однако на практике распределения финансовых доходностей имеют «тяжёлые хвосты» (эксцесс выше нормального), поэтому правило трёх сигм может недооценивать риск катастрофических событий (например, «чёрных лебедей»). Тем не менее, оно остаётся популярным инструментом для первичной оценки Value-at-Risk (VaR) на коротких временных горизонтах.

Медицина и биология

В медицине правило трёх сигм используется для определения границ нормы лабораторных показателей. Например, референсные интервалы для многих анализов (уровень глюкозы, холестерина, гемоглобина) часто рассчитываются как μ ± 2σ (95 % популяции) или μ ± 3σ (99,7 % популяции). Однако для биологических показателей распределение может быть асимметричным, поэтому предпочтительнее непараметрические методы (например, процентили).

Социология и психология

В тестологии (психометрике) правило трёх сигм применяется для интерпретации результатов стандартизированных тестов (например, IQ). Если средний балл по тесту равен 100, а стандартное отклонение — 15, то 99,7 % результатов попадают в диапазон от 55 до 145 баллов. Значения за пределами этого интервала считаются экстремально низкими или высокими.

Критика и ограничения

1. Зависимость от нормальности распределения. Правило трёх сигм строго выполняется только для нормального распределения. Для распределений с асимметрией (скошенных) или с «тяжёлыми хвостами» (например, распределение Парето, t-распределение Стьюдента с малыми степенями свободы) доля значений за пределами μ ± 3σ может быть значительно выше 0,3 %. В таких случаях применение правила приводит к систематическим ошибкам.

1. Чувствительность к выбросам. Среднее арифметическое и стандартное отклонение сами по себе чувствительны к выбросам. Если в выборке присутствуют аномальные значения, они могут существенно сместить μ и σ, и интервал μ ± 3σ перестанет быть адекватной мерой разброса. Для робастной оценки рекомендуется использовать медиану и межквартильный размах (IQR) вместо μ и σ.

1. Размер выборки. Для малых выборок (n < 30) выборочные оценки μ и σ могут быть ненадёжными. Правило трёх сигм, основанное на этих оценках, даёт лишь приблизительный результат. Для точных вероятностных расчётов при малых объёмах данных следует использовать t-распределение Стьюдента.

1. Многомерные случаи. Правило трёх сигм в его классической формулировке применимо только к одномерным данным. Для многомерных распределений (например, в машинном обучении) используются эллипсоиды рассеяния, основанные на расстоянии Махаланобиса, а не на простом интервале по каждой координате.

Примеры

• Контроль качества. На заводе по производству подшипников диаметр шариков имеет среднее 10,0 мм и стандартное отклонение 0,02 мм. По правилу трёх сигм, все шарики диаметром от 9,94 до 10,06 мм считаются нормальными. Если при измерении обнаружен шарик диаметром 10,08 мм (выход за 3σ), процесс останавливают для поиска причины брака.
• Медицина. Уровень глюкозы в крови натощак у здоровых людей распределён нормально со средним 5,0 ммоль/л и σ = 0,5 ммоль/л. Интервал μ ± 3σ = 3,5–6,5 ммоль/л. Значения ниже 3,5 ммоль/л (гипогликемия) или выше 6,5 ммоль/л (гипергликемия) встречаются менее чем у 0,3 % здоровых людей и требуют дополнительного обследования.
• Финансы. Средняя дневная доходность акции «А» равна 0,1 %, а стандартное отклонение — 2 %. По правилу трёх сигм, с вероятностью 99,7 % дневное изменение цены будет в пределах от –5,9 % до +6,1 %. Если за один день акция падает на 10 %, это событие считается экстремальным (вероятность менее 0,3 % при нормальном распределении).

См. также

• Нормальное распределение
• Стандартное отклонение
• Статистическое управление процессами
• Шести сигм
• Контрольная карта Шухарта
• Правило 68–95–99,7
• Выброс (статистика)

Источники

1. Шухарт У. Экономический контроль качества продукции. — М.: Стандартгиз, 1931. (Оригинал: Shewhart W. A. Economic Control of Quality of Manufactured Product. — 1931.)
2. Montgomery D. C. Introduction to Statistical Quality Control. — 7th ed. — Wiley, 2013. — Глава 5.
3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — 12-е изд. — М.: Юрайт, 2019. — § 5.4.
4. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973. — Глава 18.
5. ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534-1-93) «Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения».