Приближение Стирлинга

Приближение Стирлинга (также формула Стирлинга) — асимптотическая формула для приближённого вычисления факториала больших чисел, названная в честь шотландского математика Джеймса Стирлинга. Она позволяет заменить точное значение факториала \( n! \) на более простое выражение, точность которого растёт с увеличением \( n \). Формула широко применяется в комбинаторике, теории вероятностей, статистической физике и математическом анализе.

История

Первые приближения для факториала были получены ещё в XVIII веке. В 1730 году Абрахам де Муавр опубликовал работу, в которой он вывел асимптотическое выражение для \( n! \) в виде \( C \cdot n^{n+1/2} e^{-n} \), где \( C \) — некоторая константа. Позднее, в 1733 году, Джеймс Стирлинг независимо нашёл точное значение этой константы: \( C = \sqrt{2\pi} \). Таким образом, окончательная формула, известная как приближение Стирлинга, была получена совместными усилиями двух математиков.

В XIX веке формула была строго обоснована в рамках теории гамма-функции, которая является обобщением факториала на комплексные числа. В XX веке появились различные уточнения и обобщения, включая ряды Стирлинга и асимптотические разложения для гамма-функции.

Формулировка

Приближение Стирлинга имеет вид:

\[ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \]

где \( n! \) — факториал числа \( n \), \( e \) — основание натурального логарифма, \( \pi \) — число пи. Символ \( \sim \) означает, что отношение левой и правой частей стремится к 1 при \( n \to \infty \).

Логарифмическая форма

Для практических вычислений часто используется логарифмическая форма:

\[ \ln(n!) = n \ln n - n + \frac{1}{2} \ln(2\pi n) + O\left( \frac{1}{n} \right) \]

где \( \ln \) — натуральный логарифм, а \( O(1/n) \) обозначает остаточный член, который убывает как \( 1/n \).

Точность и погрешность

Приближение Стирлинга является асимптотическим, то есть его относительная погрешность стремится к нулю с ростом \( n \). Однако для малых \( n \) погрешность может быть значительной.

Примеры точности

Как видно из таблицы, уже при \( n = 10 \) относительная погрешность составляет менее 1%, а при \( n = 100 \) — менее 0.01%.

Уточнённые формулы

Для повышения точности при малых \( n \) используются уточнённые варианты. Например, формула с дополнительным членом:

\[ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + \frac{1}{12n} \right) \]

или ряд Стирлинга:

\[ n! = \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + \frac{1}{12n} + \frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} + \cdots \right) \]

Эти разложения позволяют получить высокую точность даже для \( n = 1 \) или \( n = 2 \).

Применение

Комбинаторика и теория вероятностей

Приближение Стирлинга широко используется для оценки числа перестановок, сочетаний и размещений в комбинаторике. Например, число биномиальных коэффициентов \( \binom{2n}{n} \) приближается как:

\[ \binom{2n}{n} \approx \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} \]

В теории вероятностей формула применяется для приближения биномиального распределения к нормальному (теорема Муавра — Лапласа), а также для оценки вероятностей редких событий.

Статистическая физика

В статистической механике и термодинамике приближение Стирлинга используется для вычисления энтропии и числа микросостояний систем с большим числом частиц. Например, энтропия идеального газа выражается через логарифм факториала числа частиц \( N \), и замена \( \ln(N!) \) на \( N \ln N - N \) существенно упрощает расчёты.

Математический анализ

Формула применяется при изучении асимптотики гамма-функции, которая является аналитическим продолжением факториала на комплексную плоскость. Приближение Стирлинга для гамма-функции \( \Gamma(z) \) имеет вид:

\[ \Gamma(z) \sim \sqrt{2\pi} z^{z-1/2} e^{-z} \]

при \( |z| \to \infty \) и \( |\arg z| < \pi \).

Информатика и алгоритмы

В анализе сложности алгоритмов приближение Стирлинга используется для оценки времени выполнения рекурсивных алгоритмов, таких как быстрая сортировка (quicksort) или алгоритмы, основанные на переборе перестановок. Также оно применяется в теории кодирования и сжатия данных.

Связь с другими математическими объектами

Гамма-функция

Факториал \( n! \) является частным случаем гамма-функции: \( n! = \Gamma(n+1) \). Приближение Стирлинга для гамма-функции обобщается на комплексные аргументы и является одним из важнейших асимптотических разложений в комплексном анализе.

Числа Бернулли

Ряд Стирлинга содержит числа Бернулли, которые появляются в разложении логарифма гамма-функции. Это связывает формулу с теорией специальных функций и комбинаторикой.

Интеграл Пуассона

Приближение Стирлинга может быть выведено из интеграла Эйлера для гамма-функции с помощью метода Лапласа, что демонстрирует его связь с асимптотическими методами анализа.

Интересные факты

• Константа \( \sqrt{2\pi} \) в формуле Стирлинга появляется из интеграла Гаусса \( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \), что связывает формулу с нормальным распределением.
• Приближение Стирлинга используется в доказательстве формулы Стирлинга для числа разбиений и в теории случайных матриц.
• В русскоязычной литературе формулу часто называют «формула Стирлинга», хотя исторически её правильнее называть «формула Муавра — Стирлинга».

Критика и ограничения

Основным ограничением приближения Стирлинга является его асимптотический характер: при малых \( n \) погрешность может быть неприемлемо высокой. Кроме того, формула не даёт точного значения факториала, а лишь приближение, которое нельзя использовать в задачах, требующих абсолютной точности (например, в криптографии). Для малых \( n \) предпочтительнее использовать точные таблицы факториалов или рекуррентные вычисления.

Источники

• Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 2.
• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. «Конкретная математика. Основание информатики».
• Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. «Курс современного анализа», том 2.
• Абрамовиц М., Стиган И. «Справочник по специальным функциям».
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Статистическая физика», часть 1.