Числа Бернулли

Числа Бернулли — это последовательность рациональных чисел, возникающая в различных разделах математики, в первую очередь в теории чисел, математическом анализе и комбинаторике. Они обозначаются как \( B_n \) и впервые были систематически изучены швейцарским математиком Якобом Бернулли в начале XVIII века. Числа Бернулли играют фундаментальную роль в разложении в ряд многих элементарных функций, в выражении суммы степеней натуральных чисел (формула Фаульхабера) и в определении значений дзета-функции Римана в чётных целых точках.

Определение и обозначения

Числа Бернулли \( B_n \) определяются рекуррентным соотношением или через производящую функцию. Наиболее распространённое определение задаётся с помощью производящей функции:

\[ \frac{t}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{t^n}{n!}, \quad |t| < 2\pi \]

Из этого разложения получаются первые числа Бернулли:

• \( B_0 = 1 \)
• \( B_1 = -\frac{1}{2} \)
• \( B_2 = \frac{1}{6} \)
• \( B_3 = 0 \)
• \( B_4 = -\frac{1}{30} \)
• \( B_5 = 0 \)
• \( B_6 = \frac{1}{42} \)
• \( B_7 = 0 \)
• \( B_8 = -\frac{1}{30} \)
• \( B_9 = 0 \)
• \( B_{10} = \frac{5}{66} \)

Важной особенностью является то, что все числа Бернулли с нечётными индексами, кроме \( B_1 \), равны нулю: \( B_{2k+1} = 0 \) для \( k \ge 1 \). Это следует из того, что функция \( \frac{t}{e^t - 1} + \frac{t}{2} \) является чётной.

Существует два основных соглашения для обозначения чисел Бернулли. В классическом (историческом) соглашении \( B_1 = -\frac{1}{2} \). В альтернативном соглашении, часто используемом в современной теории чисел, вводится \( B_1^+ = \frac{1}{2} \), и все остальные числа совпадают. В данной статье используется классическое соглашение, если не указано иное.

История

Ранние предшественники

Задолго до Бернулли частные случаи сумм степеней натуральных чисел были известны античным математикам. Например, Архимед знал формулу для суммы квадратов первых \( n \) чисел. Однако систематический подход к вычислению суммы \( 1^k + 2^k + \cdots + n^k \) для произвольного натурального \( k \) отсутствовал.

Работа Якоба Бернулли

Якоб Бернулли (1654–1705) опубликовал свой трактат «Ars Conjectandi» (Искусство предположений) посмертно в 1713 году. В этой работе он привёл таблицу чисел, которые впоследствии были названы его именем, и показал, как с их помощью можно выразить сумму степеней. Бернулли вычислил эти числа вплоть до \( B_{10} \). Он отметил, что с их помощью «с помощью одной лишь таблицы можно вычислить сумму десятых степеней первой тысячи чисел за половину четверти часа».

Развитие в XVIII–XIX веках

После Бернулли числа были углублённо изучены Леонардом Эйлером, который связал их с дзета-функцией Римана. Эйлер открыл знаменитую формулу, связывающую \( B_{2n} \) с \( \zeta(2n) \):

\[ \zeta(2n) = (-1)^{n+1} \frac{(2\pi)^{2n} B_{2n}}{2(2n)!} \]

В XIX веке немецкий математик Эрнст Куммер использовал числа Бернулли для исследования Великой теоремы Ферма, что привело к созданию теории идеальных чисел. В это же время были открыты теоремы фон Штаудта — Клаузена, описывающие знаменатели чисел Бернулли.

Свойства

Знаменатели и теорема фон Штаудта — Клаузена

Знаменатели чисел Бернулли \( B_{2n} \) (в несократимом виде) обладают строгой регулярностью. Теорема фон Штаудта — Клаузена (1840) утверждает, что для любого \( n \ge 1 \):

\[ B_{2n} + \sum_{p-1 \mid 2n} \frac{1}{p} \in \mathbb{Z} \]

где сумма берётся по всем простым числам \( p \), таким, что \( p-1 \) делит \( 2n \). Иными словами, дробная часть \( B_{2n} \) равна \( -\sum \frac{1}{p} \), а знаменатель \( B_{2n} \) равен произведению всех таких простых \( p \). Например, для \( n=1 \) (\( B_2 = 1/6 \)): \( p-1 \mid 2 \) даёт \( p=2,3 \), и \( 1/2 + 1/3 = 5/6 \), так что \( 1/6 + 5/6 = 1 \).

Асимптотическое поведение

Числа Бернулли с чётными индексами быстро растут по модулю. Асимптотически:

\[ |B_{2n}| \sim 4 \sqrt{\pi n} \left( \frac{n}{\pi e} \right)^{2n} \]

Это означает, что \( |B_{2n}| \) растёт сверхэкспоненциально, быстрее любого факториала. Например, \( B_{20} \approx -5.29 \times 10^8 \), а \( B_{100} \) — число, содержащее десятки цифр.

Связь с дзета-функцией Римана

Как уже упоминалось, для чётных положительных аргументов дзета-функция Римана выражается через числа Бернулли:

\[ \zeta(2n) = (-1)^{n+1} \frac{(2\pi)^{2n} B_{2n}}{2(2n)!} \]

Для нечётных аргументов (например, \( \zeta(3) \)) такой простой формулы не существует, и их природа остаётся предметом активных исследований.

Связь с числами Эйлера и полиномами Бернулли

Числа Бернулли тесно связаны с числами Эйлера \( E_n \) и полиномами Бернулли \( B_n(x) \). Полиномы Бернулли определяются производящей функцией:

\[ \frac{t e^{xt}}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n(x) \frac{t^n}{n!} \]

При \( x=0 \) получаются числа Бернулли: \( B_n(0) = B_n \). Полиномы Бернулли используются в формуле суммирования Эйлера — Маклорена.

Применение

Формула Фаульхабера (суммы степеней)

Основное классическое применение чисел Бернулли — вычисление суммы \( k \)-х степеней первых \( n \) натуральных чисел. Формула Фаульхабера (обобщённая Иоганном Фаульхабером в начале XVII века и систематизированная Бернулли) имеет вид:

\[ \sum_{m=1}^{n} m^k = \frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^{k} (-1)^j \binom{k+1}{j} B_j n^{k+1-j} \]

где \( B_j \) — числа Бернулли. Например, для \( k=1 \) (сумма первых \( n \) чисел): \( \frac{n(n+1)}{2} = \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{2} n \), что соответствует \( B_0=1, B_1=-1/2 \).

Формула суммирования Эйлера — Маклорена

Числа Бернулли являются коэффициентами в формуле суммирования Эйлера — Маклорена, которая связывает сумму значений функции с её интегралом и поправочными членами, содержащими производные:

\[ \sum_{i=a}^{b} f(i) = \int_a^b f(x) \, dx + \frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{m} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)}(b) - f^{(2k-1)}(a) \right) + R_m \]

Эта формула широко применяется в численном анализе, в частности, для вычисления определённых интегралов и сумм.

Разложения в ряды

Числа Бернулли появляются в разложениях многих элементарных и специальных функций в ряды Тейлора:

• Тангенс: \( \tan x = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{2^{2n}(2^{2n}-1) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \)
• Котангенс: \( \cot x = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n} B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \)
• Гиперболический тангенс: \( \tanh x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2n}(2^{2n}-1) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \)

Теория чисел

Числа Бернулли играют ключевую роль в теории чисел, особенно в связи с:

• Великой теоремой Ферма: Куммер доказал, что теорема верна для всех простых показателей \( p \), не делящих числители чисел Бернулли \( B_2, B_4, \ldots, B_{p-3} \) (так называемые регулярные простые числа).
• Гипотезой Вандивера: связана с делимостью чисел Бернулли на простые числа.
• Конгруэнциями Куммера: описывают поведение чисел Бернулли по модулю простых чисел.

Топология

В алгебраической топологии числа Бернулли появляются при вычислении характеристических классов, в частности, в формуле для рода Тодда (Todd genus) и в теореме Атьи — Зингера об индексе. Они также связаны с классами Понтрягина и классами Черна.

Вычисление

Рекуррентная формула

Числа Бернулли можно вычислить рекуррентно, используя соотношение:

\[ \sum_{k=0}^{m} \binom{m+1}{k} B_k = 0, \quad m \ge 1 \]

с начальным условием \( B_0 = 1 \). Это даёт:

• \( B_1 = -\frac{1}{2} \)
• \( B_2 = \frac{1}{6} \)
• и так далее.

Алгоритмы

Для эффективного вычисления чисел Бернулли с большими индексами используются алгоритмы, основанные на связи с дзета-функцией Римана (через формулу Эйлера) или на быстром преобразовании Фурье. Современные системы компьютерной алгебры (например, Wolfram Mathematica, Maple) могут вычислять числа Бернулли с сотнями тысяч знаков.

Интересные факты

• Числа Бернулли с чётными индексами чередуют знак: \( B_{2n} \) отрицательно при нечётном \( n \) и положительно при чётном \( n \).
• Числители чисел Бернулли (например, для \( B_{12} = -\frac{691}{2730} \)) часто содержат большие простые числа, что делает их предметом изучения в теории чисел.
• Числа Бернулли используются в теории вероятностей и статистике, в частности, в разложении моментной производящей функции.
• Существует гипотеза, что все числа Бернулли с чётными индексами, начиная с \( B_{12} \), имеют знаменатель, кратный 6, что следует из теоремы фон Штаудта — Клаузена.

Источники

• Бернулли Я. Ars Conjectandi (Искусство предположений). 1713.
• Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных. 1748.
• Куммер Э. О регулярных простых числах. 1850.
• Фон Штаудт К., Клаузен Т. Теорема о знаменателях чисел Бернулли. 1840.
• Атья М., Зингер И. Теорема об индексе. 1963.
• Конвей Дж., Гай Р. Книга чисел. 1996.