Пропорция и правила её вычисления¶

Пропорция — равенство двух отношений, записываемое в виде a:b = c:d или a/b = c/d, где a, b, c, d — числа или величины, а b и d не равны нулю. Пропорция является одним из базовых понятий арифметики и алгебры, на котором строятся задачи на проценты, прямая и обратная пропорциональность, масштабирование и многие прикладные расчёты.

¶Основные свойства пропорции

Внешние члены пропорции — числа a и d, средние — b и c. Ключевое свойство, позволяющее решать пропорции, сформулировано в правиле пропорции: произведение средних членов равно произведению внешних.

$$a \cdot d = b \cdot c$$

Это правило обращения пропорции: если произведение средних членов равно произведению внешних, то четыре числа образуют пропорцию. Дополнительно верны следующие свойства:

• Свойство сложения: (a + b)/b = (c + d)/d.
• Свойство вычитания: (a − b)/b = (c − d)/d.
• Обратная пропорция: если a/b = c/d, то b/a = d/c.
• Перестановка средних или внешних членов: a/c = b/d и d/b = c/a.

¶Как найти неизвестный член

Наиболее частая задача — вычислить один из четырёх членов, три других известны. Допустим, неизвестен четвёртый член x:

a/b = c/x → x = (b · c)/a

Если неизвестен второй член:

a/x = c/d → x = (a · d)/c

Общий приём: неизвестный член умножается на противоположный ему по позиции известный член, а результат делится на оставшийся известный член. Мнемоническое правило: «неизвестный член, умноженный на противоположный, равен произведению двух других».

¶Пример

Дано: 4/x = 6/15. Найдём x: x = (4 · 15)/6 = 60/6 = 10. Проверка: 4/10 = 6/15 = 0,4.

¶Проверка пропорции

Чтобы убедиться, что четыре числа образуют пропорцию, достаточно вычислить оба произведения: a·d и b·c. Если они равны — пропорция верна. Например, числа 3, 8, 12 и 32: 3·32 = 96 и 8·12 = 96, значит 3:8 = 12:32.

¶Прямая и обратная пропорциональность

Прямая пропорциональность описывает ситуацию, когда при увеличении одной величины другая увеличивается в той же пропорции: y = kx, где k — коэффициент пропорциональности. Пример: стоимость товара прямо пропорциональна его количеству при фиксированной цене.

Обратная пропорциональность — когда при увеличении одной величины другая уменьшается так, что их произведение остаётся постоянным: y = k/x. Пример: время, необходимое для выполнения работы, обратно пропорционально числу работающих.

Для решения задач на пропорциональность составляется уравнение вида a/b = c/x и решается по правилу пропорции.

¶Применение

¶Нахождение доли и части числа

Задача «найти 35% от 240» решается через пропорцию: 100/240 = 35/x, откуда x = (240 · 35)/100 = 84.

¶Масштабирование

При построении чертежей и карт используется пропорция между расстоянием на плане и реальным расстоянием. Если масштаб 1:1000, то 5 см на плане соответствуют 5000 см (50 м) в действительности.

¶Решение задач на смеси и сплавы

Концентрация раствора или доли компонентов в сплаве определяются через пропорцию между массой компонента и общей массой.

¶Процентные задачи

Три базовые формулы процентов выведены из пропорции:

• часть = (число · процент)/100;
• число = (часть · 100)/процент;
• процент = (часть · 100)/число.

¶Типичные ошибки

• Неверное составление пропорции: при задачах на обратную пропорциональность составляется прямая (и наоборот). Признак: если одна величина растёт, а другая уменьшается — отношение записывается «перевёрнутым».
• Ошибка в порядке членов: числа записаны не в той последовательности, что нарушает соответствие величин.
• Забытая проверка: после нахождения неизвестного члена рекомендуется подставить его обратно и убедиться, что отношение действительно равно.

¶Историческая справка

Пропорции изучались ещё в Древней Греции. Евклид в «Началах» (около 300 года до н. э.) посвятил пропорциям пятую книгу, где рассматривает их в общем виде, включая отношения между величинами. В средневековой и новоевропейской математике пропорция стала основой для теории подобия треугольников, тригонометрии и аналитической геометрии.

Источники:

• Евклид. Начала, книга V.
• Колягин Ю. М. и др. Арифметика. Методическое пособие.
• Виленкин Н. Я., Жохов В. И. Математика. 5–6 классы. Учебник.
• Рабинович И. М. Задачи по элементарной математике.