Простое среднее арифметическое

Среднее арифметическое (в математике и статистике) — это одна из основных мер центральной тенденции, представляющая собой сумму всех значений числового набора, делённую на количество этих значений. Является наиболее распространённой и интуитивно понятной характеристикой, используемой для описания типичного, среднего уровня изучаемого признака в совокупности однородных данных.

Определение и формула

Пусть дан набор из \( n \) чисел \( x_1, x_2, \dots, x_n \). Простое среднее арифметическое \( \bar{x} \) (читается «икс с чертой») вычисляется по формуле:

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

где \( \sum \) — знак суммирования, \( n \) — объём выборки (количество элементов).

Например, для чисел 2, 5, 8, 11: \( \bar{x} = \frac{2+5+8+11}{4} = \frac{26}{4} = 6,5 \).

Свойства

Среднее арифметическое обладает рядом математических свойств, которые делают его удобным для анализа, но одновременно накладывают ограничения на его применение.

• Сумма отклонений равна нулю. Сумма разностей между каждым значением и средним арифметическим всегда равна нулю: \( \sum_{i=1}^{n} (x_i — \bar{x}) = 0 \). Это свойство используется в методе наименьших квадратов.
• Чувствительность к выбросам. Среднее арифметическое сильно зависит от каждого элемента набора, особенно от экстремально больших или малых значений (выбросов). Например, для набора {1, 2, 3, 100} среднее равно 26,5, что не отражает типичное значение большинства элементов.
• Линейность. Если к каждому элементу набора прибавить константу \( c \), то среднее арифметическое увеличится на эту же константу. Если каждый элемент умножить на константу \( k \), то среднее арифметическое умножится на \( k \).
• Единственность. Для данного набора чисел существует только одно среднее арифметическое.
• Минимизация суммы квадратов. Среднее арифметическое является точкой, в которой сумма квадратов отклонений от неё минимальна: \( \sum (x_i — \bar{x})^2 \le \sum (x_i — a)^2 \) для любого \( a \).

Виды среднего арифметического

В зависимости от характера данных и целей анализа различают несколько модификаций среднего арифметического.

Простое среднее арифметическое

Рассмотрено выше. Применяется для несгруппированных данных, когда каждое значение встречается один раз.

Взвешенное среднее арифметическое

Используется, когда значения в наборе имеют разную значимость (вес). Например, при расчёте средней успеваемости по предметам с разным количеством часов, или средней цены товара при разных объёмах продаж.

Формула: \( \bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \), где \( w_i \) — вес \( i \)-го значения.

Пример: студент получил 5 (вес 1 — зачёт) и 3 (вес 3 — экзамен). Взвешенное среднее: \( \frac{5 \cdot 1 + 3 \cdot 3}{1+3} = \frac{14}{4} = 3,5 \). Простое среднее (4) было бы неверным, так как экзамен важнее.

Среднее арифметическое для интервального ряда

Если данные представлены в виде интервалов (например, возраст от 20 до 30 лет), то сначала находят середину каждого интервала (как среднее арифметическое его границ), а затем вычисляют взвешенное среднее по частотам попадания в интервалы.

Применение

Среднее арифметическое широко используется в самых разных областях.

• Статистика и экономика. Расчёт среднего дохода на душу населения, средней заработной платы, среднего возраста, среднего балла успеваемости, средней урожайности, среднего темпа роста.
• Естественные науки. Обработка результатов измерений (например, средняя температура за месяц, средняя скорость реакции, средняя длина тела). В физике — нахождение среднего значения физической величины при многократных измерениях.
• Техника и производство. Расчёт среднего времени безотказной работы, среднего расхода топлива, среднего размера детали в партии.
• Повседневная жизнь. Подсчёт среднего чека в магазине, среднего времени в пути, среднего количества шагов в день.

Ограничения и критика

Несмотря на популярность, простое среднее арифметическое имеет существенные недостатки, которые могут приводить к неверным выводам.

1. Чувствительность к выбросам. Как уже отмечалось, одно аномальное значение может сильно исказить среднее. В таких случаях более робастными (устойчивыми) мерами являются медиана или мода.
2. Неприменимость для нечисловых данных. Среднее арифметическое нельзя вычислить для категориальных переменных (например, «цвет волос» или «марка автомобиля»).
3. Некорректность для распределений с сильной асимметрией. Например, распределение доходов в обществе обычно сильно скошено вправо (немногие имеют очень высокие доходы). Среднее арифметическое в таком случае будет значительно выше медианного дохода и не будет отражать типичный уровень благосостояния большинства населения.
4. Потеря информации. Среднее значение не даёт представления о разбросе данных (дисперсии, стандартном отклонении) и форме распределения. Два совершенно разных набора данных могут иметь одинаковое среднее.
5. Нецелочисленность. Среднее арифметическое часто оказывается дробным числом, даже если исходные данные — целые (например, среднее число детей в семье — 1,5).

Связь с другими средними

В математической статистике и анализе данных среднее арифметическое — лишь один из видов средних величин. К другим относятся:

• Среднее геометрическое — используется для темпов роста, процентов, отношений. Вычисляется как корень \( n \)-й степени из произведения \( n \) чисел.
• Среднее гармоническое — применяется для средних скоростей, производительностей, цен при одинаковых затратах.
• Среднее квадратическое — используется в физике (среднеквадратичная скорость молекул) и для оценки погрешностей.
• Медиана — значение, делящее упорядоченный набор пополам. Устойчива к выбросам.
• Мода — наиболее часто встречающееся значение.

Для симметричных распределений (например, нормального распределения) среднее арифметическое, медиана и мода совпадают. Для асимметричных — различаются.

Примеры расчёта

Пример 1. В классе 5 учеников получили оценки за контрольную: 4, 5, 3, 4, 5. Среднее арифметическое: \( \frac{4+5+3+4+5}{5} = \frac{21}{5} = 4,2 \).

Пример 2. Средняя температура воздуха за неделю (пн-вс): 15°C, 16°C, 14°C, 17°C, 18°C, 20°C, 19°C. Среднее: \( \frac{15+16+14+17+18+20+19}{7} = \frac{119}{7} = 17°C \).

Пример 3 (выброс). В компании зарплаты сотрудников (тыс. руб.): 30, 35, 32, 28, 31, 300 (директор). Среднее арифметическое: \( \frac{30+35+32+28+31+300}{6} = \frac{456}{6} = 76 \) тыс. руб. Это значение не отражает типичную зарплату большинства сотрудников (около 30 тыс. руб.). Корректнее использовать медиану (31,5 тыс. руб.).

Источники

• Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 2003.
• Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
• Большая российская энциклопедия. Статья «Средние величины». — М., 2015.
• Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1982.