Проценты в ДАШ: геометрические задачи¶
Проценты в ДАШ — это задачи дидактической системы «Алгебра» (ДАШ), разработанной И. В. Ященко, в которых процентные соотношения задаются и решаются средствами геометрии: через площади фигур, длины отрезков, доли отрезков на отрезке и геометрические модели отношений. Такие задачи встречаются в основном профиле ЕГЭ по математике (профиль 02) и являются частью раздела «Геометрия», а также раздела «Числа и вычисления», где проценты традиционно связаны с геометрическими интерпретациями.
¶Структура ДАШ и место процентных задач
ДАШ — это электронная база заданий, разработанная под руководством И. В. Ященко для подготовки к ЕГЭ. Задания в ней пронумерованы и сгруппированы по разделам:
- Раздел 1 — «Числа и вычисления» (номера 1–10);
- Раздел 2 — «Вычисления и преобразования выражений» (номера 11–17);
- Раздел 3 — «Уравнения и неравенства» (номера 18–21);
- Раздел 4 — «Задачи» (номера 22–25);
- Раздел 5 — «Геометрия» (номера 26–30);
- Раздел 6 — «Текстовые задачи» (номера 31–33);
- Раздел 7 — «Начала математического анализа» (номера 34–35);
- Раздел 8 — «Дополнительные задания» (номера 36–41).
Процентные задачи геометрического типа могут быть отнесены к разделу 5 (задачи на вычисление площадей, длин, объёмов, где исходные данные заданы в процентах) и к разделу 4 (задачи на отношение величин, где проценты являются формой записи отношения).
¶Как включить проценты в геометрическую задачу ДАШ
¶Через отношение площадей
Наиболее частый тип — задачи, в которых одна площадь составляет определённый процент от другой. Например: «Площадь прямоугольника равна 240 см². После уменьшения каждой стороны в 1,5 раза площадь уменьшится на сколько процентов?» Решение: при уменьшении линейных размеров в k раз площадь уменьшается в k² раз. Здесь k = 1,5, поэтому новая площадь равна 240 / 2,25 ≈ 106,67 см², а уменьшение составляет (240 − 106,67) / 240 · 100 % ≈ 55,6 %.
¶Через доли отрезка
Задачи, в которых точка делит отрезок в заданном процентном отношении. Например: «Точка M делит отрезок AB так, что AM составляет 30 % от AB. Найдите отношение площадей треугольников AMC и BMC, если C — произвольная точка, не лежащая на прямой AB». Так как треугольники имеют общую высоту из точки C, отношение площадей равно отношению оснований: S(AMC) / S(BMC) = AM / MB = 0,3 / 0,7 = 3/7.
¶Через процентное изменение линейных размеров
Типичный формат: «Сторона квадрата увеличена на 20 %. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата?» Ответ: 1,2² = 1,44, то есть увеличение на 44 %. Аналогично для объёмов: при увеличении линейного размера на p процентов объём увеличивается на (1 + p/100)³ · 100 % − 100 %.
¶Через геометрические модели процентов
Проценты можно интерпретировать как доли площади фигуры. Задача: «Квадрат разбит на 100 равных малых квадратов. Закрашено 35 из них. Какую часть площади занимает закрашенная область, выраженная в процентах?» Ответ: 35 %. Эта модель полезна для наглядного решения задач на сложные проценты в геометрическом контексте.
¶Типичные ошибки
- Смешивание процентов и процентных пунктов. Увеличение с 20 % до 25 % — это рост на 5 процентных пунктов, но на 25 % относительно исходного значения.
- Линейное изменение площади. При изменении сторон на p % площадь изменяется не на p %, а на (1 + p/100)² − 1.
- Проценты и дроби. В геометрических задачах ДАШ часто удобнее работать с дробями (30 % = 3/10), а не с процентами.
¶Стратегия решения в ДАШ
При решении геометрических задач с процентами в ДАШ рекомендуется:
- Перевести проценты в дроби или десятичные числа.
- Определить, какая величина является базовой (от неё считаются проценты).
- Установить, изменяется ли линейный размер, площадь или объём — от этого зависит степень отношения (1, 2 или 3).
- Записать отношение и вычислить искомую величину.
- Проверить ответ, подставив его в исходное условие.
¶Примеры из открытых вариантов
В открытых вариантах ЕГЭ по математике (профиль) регулярно встречаются задачи вида: «Площадь круга уменьшилась на 36 %. На сколько процентов уменьшился радиус?» Решение: (1 − 0,36) = 0,64 = 0,8², значит радиус уменьшился на 20 %. Такие задачи проверяют понимание квадратичной зависимости площади от линейного размера.
Другой тип: «Объём шара уменьшился на 48,8 %. На сколько процентов уменьшился радиус?» Решение: 1 − 0,488 = 0,512 = 0,8³, значит радиус уменьшился на 20 %.
Источники:
- Дидактическая система «Алгебра» (ДАШ), разделы и нумерация заданий
- Открытые банки заданий ФИПИ по математике (профильный уровень)
- Спецификация ЕГЭ по математике, профильный уровень (профиль 02)
- Методические рекомендации по подготовке к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко