Процессы Леви

Процесс Леви — это стохастический процесс с непрерывным временем и независимыми стационарными приращениями, принимающий значения в евклидовом пространстве ℝ^d. Процессы Леви являются обобщением винеровского процесса (броуновского движения) и пуассоновского процесса и представляют собой широкий класс случайных процессов, моделирующих траектории со скачками. Названы в честь французского математика Поля Леви, который в 1930-х годах систематически исследовал их свойства. Характерным признаком процесса Леви является то, что закон распределения его приращений за любой промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от предыстории процесса. Процессы Леви находят применение в физике (моделирование диффузии с перемежаемостью), финансовой математике (модели цен активов), биологии, теории очередей и в других областях.

Определение и основные свойства

Формально, случайный процесс {L_t, t ≥ 0} называется процессом Леви, если выполнены следующие условия:

1. Независимость приращений: для любых моментов времени 0 ≤ t₁ < t₂ < … < t_n случайные величины L_t₂ − L_t₁, L_t₃ − L_t₂, …, L_{t_n} − L_{t_n−1} независимы в совокупности.
2. Стационарность приращений: распределение разности L_t+s − L_t не зависит от t и совпадает с распределением L_s (для любых t, s ≥ 0).
3. Стохастическая непрерывность: для любого ε > 0 выполняется lim_t→0 P(|L_t| > ε) = 0. То есть вероятность скачка в фиксированный момент времени равна нулю.

Условие стохастической непрерывности не гарантирует непрерывности траекторий с вероятностью 1, но исключает наличие скачков в заранее заданные моменты времени. Траектории процесса Леви в общем случае являются непрерывными справа и имеющими пределы слева (càdlàg).

Классификация

Процессы Леви разделяют по характеру траекторий. Выделяют три основных типа:

• Диффузионные процессы (непрерывные): имеют непрерывные траектории. Единственным нетривиальным непрерывным процессом Леви является броуновское движение с дрейфом. Его можно представить как L_t = γt + σW_t, где γ — вектор дрейфа, σ — матрица ковариаций, W_t — стандартный винеровский процесс.
• Чисто скачкообразные процессы (с конечной или бесконечной активностью). С конечной активностью — траектории состоят из конечного числа скачков на любом конечном интервале времени (например, составной пуассоновский процесс). С бесконечной активностью — на любом временном интервале происходит бесконечное число скачков, но среди них преобладают очень малые по величине (например, гамма-процесс, процесс Вогта).
• Смешанные процессы: включают как непрерывную (броуновскую) компоненту, так и скачкообразную часть.

Представление Леви — Хинчина

Фундаментальным результатом теории является формула Леви — Хинчина, которая описывает характеристическую функцию процесса Леви:

Теорема. Пусть {L_t} — процесс Леви. Тогда его характеристическая функция имеет вид:

E[exp(i⟨u, L_t⟩)] = exp[ t ⋅ ( i⟨a, u⟩ − ½⟨u, Σu⟩ + ∫_ℝ^d∖{0} ( e^{i⟨u, x⟩} − 1 − i⟨u, x⟩ 1_|x|<1 ) ν(dx) ) ],

где:

• a ∈ ℝ^d — вектор сноса;
• Σ — симметричная неотрицательно определённая матрица размерности d×d, описывающая диффузионную (гауссову) компоненту;
• ν — мера Леви на ℝ^d∖{0}, удовлетворяющая условию ∫ (|x|² ∧ 1) ν(dx) < ∞.

Тройка (a, Σ, ν) называется характеристическим триплетом процесса Леви. Мера Леви описывает ожидаемое число и размеры скачков процесса. Выражение i⟨u, x⟩ 1_|x|<1 называется компенсатором большого числа малых скачков.

Примеры процессов Леви

Броуновское движение с дрейфом

Параметры: L_t = μt + σW_t. Траектории непрерывны. Мера Леви ν = 0. Используется в классических моделях финансов, физике броуновского движения.

Составной пуассоновский процесс

Имеет вид L_t = ∑_i=1^N_t Y_i, где N_t — пуассоновский процесс с интенсивностью λ, а Y_i — независимые одинаково распределённые случайные величины (размеры скачков). Моделирует накопление редких событий.

Гамма-процесс

Процесс с бесконечной активностью скачков, у которого распределение L_t подчиняется гамма-распределению. Часто используется в теории надёжности и актуарной математике.

Процесс Вогта (нормальный обратный гауссовский процесс)

Моделирует стохастическую волатильность. Представляет собой субординацию броуновского движения с дрейфом. Широко применяется в финансовой математике.

Применение

Финансовая математика

Процессы Леви позволяют моделировать распределения доходностей финансовых активов, которые наблюдаются значительно более «тяжелохвостыми» и с большей заострённостью по сравнению с нормальным распределением. Используются для ценообразования опционов, управления рисками и построения портфелей. Модель Блэка — Шоулза является частным случаем процесса Леви (броуновское движение).

Физика

В статистической физике процессы Леви описывают аномальную диффузию, супердиффузию (более быстрый разлёт частиц, чем в броуновском движении) — так называемые «полёты Леви». Они применяются для моделирования движения микроорганизмов и некоторых экономических явлений.

Теория очередей и телекоммуникации

Процессы Леви используются для моделирования потоков трафика в компьютерных сетях, где пакеты данных могут поступать пачками или с большими временными интервалами. Гамма-процесс применяется для оценки времени накопления отказов в сложных системах.

Интересные факты

• Понятие полёта Леви (Lévy flight) часто путают с процессом Леви. Полёт Леви — это вид случайного блуждания, в котором длина шага имеет тяжёлый хвост распределения, что иногда реализуется через определенный процесс Леви. Однако не все процессы Леви являются полётами.
• Мера Леви может быть сингулярна относительно меры Лебега, что позволяет моделировать, например, процессы с фиксированной интенсивностью скачков определённого размера.
• Теория процессов Леви тесно связана с теорией безгранично делимых распределений: распределение L₁ любого процесса Леви является безгранично делимым.

Критика и ограничения

Несмотря на широкое применение, модели на основе процессов Леви имеют ограничения:

• Предположение о независимости приращений противоречит многим реальным процессам, где наблюдается автокорреляция (например, на финансовых рынках — кластеризация волатильности).
• Стационарность приращений может не выполняться для нестационарных временных рядов. В таких случаях применяются обобщения — процессы Леви с изменяющимися параметрами (например, время-деформированные процессы Леви).

Источники

• Бертонес, С. «Процессы Леви: введение, теория и приложения»
• Сато, К. «Процессы Леви и безгранично делимые распределения»
• Ширяев, А.Н. «Основы стохастической финансовой математики»
• Cont, R., Tankov, P. «Financial Modelling with Jump Processes»