Ранг матрицы: определение и методы нахождения¶
Ранг матрицы — это число линейно независимых строк (или столбцов) матрицы, равное размеру максимального линейно независимого подмножества её строк или столбцов. Ранг обозначается как rk(A) или r(A) и является одним из центральных понятий линейной алгебры. Ранг матрицы не превышает меньшего из числа строк и столбцов: для матрицы размера m×n выполняется неравенство rk(A) ≤ min(m, n). Если ранг равен min(m, n), матрица называется матрицей полного ранга.
¶Определение
Ранг матрицы можно определить двумя эквивалентными способами:
- По строкам: ранг — это максимальное число линейно независимых строк матрицы.
- По столбцам: ранг — это максимальное число линейно независимых столбцов матрицы.
Эти два определения дают одно и то же число — это следствие теоремы о равенстве рангов строки и столбца. Геометрически ранг матрицы A размера m×n равен размеру образа линейного отображения x ↦ Ax, то есть размеру подпространства в ℝᵐ, которое порождается столбцами матрицы.
¶Основные свойства
- rk(A) = rk(Aᵀ), где Aᵀ — транспонированная матрица.
- Ранг суммы матриц не превышает суммы их рангов: rk(A + B) ≤ rk(A) + rk(B).
- Ранг произведения не превышает рангов множителей: rk(AB) ≤ min(rk(A), rk(B)).
- Если матрица A невырождена (определитель не равен нулю), то её ранг равен размеру матрицы.
- Ранг матрицы совпадает с числом ненулевых собственных значений, если учитывать кратность (для вещественных симметричных матриц).
- Ранг не меняется при элементарных преобразованиях строк — это свойство лежит в основе основного метода вычисления ранга.
¶Методы нахождения ранга
¶Метод приведения к ступенчатой форме
Наиболее распространённый способ найти ранг матрицы — привести её к ступенчатой (эшелонной) форме с помощью элементарных преобразований строк. Алгоритм:
- Найти в первом столбце ненулевой элемент и переставить строку наверх (если нужно).
- Обнулить все элементы ниже опорного, вычитая из соответствующих строк первую, умноженную на нужный коэффициент.
- Рассмотреть подматрицу, исключая первую строку и первый столбец, и повторить процесс.
- Продолжать, пока не получится ступенчатая форма.
- Ранг равен числу ненулевых строк (или числу опорных элементов) в итоговой форме.
Например, для матрицы
A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
вычитание из второй строки первой, умноженной на 4, а из третьей — первой, умноженной на 7, даёт нулевую третью строку после дальнейших преобразований. Ранг этой матрицы равен 2.
¶Метод вычисления определителей
Ранг матрицы равен наибольшему порядку её ненулевых миноров. Минор порядка k — это определитель подматрицы k×k, полученной вычёркиванием строк и столбцов. Если найден ненулевой минор порядка k, а все миноры порядка k+1 равны нулю, то ранг равен k. Метод применим преимущественно к матрицам малого размера, так как число миноров растёт комбинаторно.
¶Метод с помощью собственных чисел
Для квадратных матриц ранг можно найти как число ненулевых собственных значений. Этот метод связан с вычислением характеристического полинома det(A − λE) = 0 и подходит для теоретических рассуждений, но на практике уступает методу приведения к ступенчатой форме.
¶Численные методы
В вычислительной линейной алгебре для нахождения ранга больших матриц используют сингулярное разложение (SVD) и QR-разложение. Ранг определяется числом сингулярных значений, существенно отличных от нуля (с учётом выбранной точности). Этот подход устойчив к ошибкам округления и реализован в большинстве библиотек численных вычислений.
¶Примеры
- Нулевая матрица имеет ранг 0.
- Строка или столбец ненулевых элементов — матрица ранга 1.
- Диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами имеет ранг, равный размеру матрицы.
- Матрица [[1, 1], [1, 1]] имеет ранг 1, так как строки пропорциональны.
- Матрица единичного вида n×n имеет ранг n.
¶Применение
Ранг матрицы применяется при решении систем линейных уравнений: система Ax = b имеет решение тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы совпадает с рангом матрицы коэффициентов (теорема Кронекера — Капелли). Ранг используется в методе наименьших квадратов, при анализе линейных отображений, в теории управляющего управления и обработке сигналов. Понятие ранга лежит в основе определения ядра и образа линейного отображения и применяется при анализе многомерных данных, в частности при снижении размерности.
Источники:
- Гантмахер Ф. Р. «Теория матриц»
- Курош А. Г. «Курс линейной алгебры»
- Прасолов В. В. «Задачи и теоремы линейной алгебры»
- Голуб Г., Ван Л. «Численные методы линейной алгебры»