Распределение Коши

Распределение Коши (также распределение Лоренца, распределение Коши — Лоренца) — это непрерывное распределение вероятностей, задаваемое функцией плотности вида \( f(x) = \frac{1}{\pi \gamma} \cdot \frac{\gamma^2}{(x - x_0)^2 + \gamma^2} \), где \( x_0 \) — параметр сдвига (медиана и мода), а \( \gamma > 0 \) — параметр масштаба (полуширина на полувысоте). Распределение известно тем, что у него не существует математического ожидания и дисперсии (они расходятся), что делает его классическим примером «тяжёлого» распределения с «толстыми» хвостами. Названо в честь французского математика Огюстена Луи Коши.

История

Впервые распределение было описано французским математиком Симеоном Дени Пуассоном в 1824 году в контексте анализа ошибок наблюдений. Однако широкую известность оно получило после работ Огюстена Луи Коши, который в 1853 году исследовал его свойства в связи с задачей о среднем арифметическом для независимых случайных величин. Коши показал, что для данного распределения выборочное среднее не сходится к истинному значению параметра сдвига, что противоречило интуитивным представлениям о законе больших чисел. В физике распределение известно как распределение Лоренца — в честь нидерландского физика Хендрика Антона Лоренца, который использовал его для описания формы спектральных линий (лоренцева линия).

Определение и свойства

Функция плотности и функция распределения

Распределение Коши с параметром сдвига \( x_0 \) и параметром масштаба \( \gamma \) имеет функцию плотности вероятности (PDF):

\[ f(x) = \frac{1}{\pi \gamma} \cdot \frac{\gamma^2}{(x - x_0)^2 + \gamma^2} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\gamma}{(x - x_0)^2 + \gamma^2}. \]

Функция распределения (CDF):

\[ F(x) = \frac{1}{\pi} \arctan\left( \frac{x - x_0}{\gamma} \right) + \frac{1}{2}. \]

Моменты и квантили

Распределение Коши является вырожденным с точки зрения моментов высших порядков:

• Математическое ожидание не существует, так как интеграл \( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx \) расходится (расходится как \( \ln |x| \) на бесконечности).
• Дисперсия не существует, так как расходится второй момент.
• Медиана равна \( x_0 \).
• Мода равна \( x_0 \).
• Квантили: \( Q(p) = x_0 + \gamma \tan\left( \pi (p - 0.5) \right) \), где \( p \in (0, 1) \).

Характеристическая функция

Характеристическая функция распределения Коши имеет простой вид:

\[ \varphi(t) = e^{i x_0 t - \gamma |t|}. \]

Это одна из немногих характеристических функций, которая не является аналитической в нуле (имеет разрыв производной), что отражает отсутствие моментов.

Связь с другими распределениями

Частные случаи

• Стандартное распределение Коши — частный случай с \( x_0 = 0 \) и \( \gamma = 1 \). Его плотность: \( f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)} \).
• Распределение Коши как частный случай t-распределения Стьюдента — при числе степеней свободы \( \nu = 1 \) распределение Стьюдента превращается в распределение Коши.

Преобразования

• Если \( X \) имеет стандартное распределение Коши, то \( Y = \mu + \sigma X \) имеет распределение Коши с параметрами \( x_0 = \mu \), \( \gamma = \sigma \).
• Отношение двух независимых стандартных нормальных случайных величин \( Z_1 / Z_2 \) имеет стандартное распределение Коши.
• Если \( U \) равномерно распределена на \( (-\pi/2, \pi/2) \), то \( \tan(U) \) имеет стандартное распределение Коши.

Устойчивость

Распределение Коши является устойчивым распределением (в смысле Леви) с индексом устойчивости \( \alpha = 1 \) и параметром асимметрии \( \beta = 0 \). Это означает, что сумма независимых случайных величин, имеющих распределение Коши, снова имеет распределение Коши. В частности, выборочное среднее \( \bar{X}_n \) для выборки из распределения Коши имеет то же распределение, что и отдельное наблюдение (с тем же параметром сдвига \( x_0 \) и масштабом \( \gamma \)).

Применение

Физика и спектроскопия

В физике распределение Коши (распределение Лоренца) описывает форму спектральных линий в условиях естественного уширения (лоренцева линия). Функция Лоренца используется для аппроксимации резонансных кривых в ядерном магнитном резонансе (ЯМР), электронном парамагнитном резонансе (ЭПР) и других спектроскопических методах. Параметр \( \gamma \) соответствует полуширине линии на половине высоты (HWHM).

Экономика и финансы

Распределение Коши используется для моделирования экстремальных событий и «толстых хвостов» в финансовых рядах, например, при анализе доходностей активов с высокой волатильностью. Однако из-за отсутствия конечной дисперсии его применение ограничено по сравнению с распределениями с конечными моментами (например, t-распределением Стьюдента).

Статистика и робастное оценивание

Распределение Коши служит примером распределения, для которого выборочное среднее является плохой оценкой параметра сдвига (из-за расходимости дисперсии). В робастной статистике для оценивания параметра сдвига распределения Коши используется выборочная медиана, которая является состоятельной и асимптотически нормальной оценкой.

Обработка сигналов

В цифровой обработке сигналов распределение Коши применяется для моделирования импульсных помех (например, в радиолокации и телекоммуникациях). Фильтры, основанные на распределении Коши, используются для подавления выбросов.

Критика и ограничения

Основным ограничением распределения Коши является отсутствие конечных моментов, что делает его непригодным для многих классических статистических методов, основанных на законе больших чисел и центральной предельной теореме. Выборочное среднее для распределения Коши не сходится к истинному значению параметра, а дисперсия выборочного среднего бесконечна. Это требует использования специальных робастных методов оценивания, таких как метод максимального правдоподобия (который для распределения Коши даёт состоятельные, но неэффективные оценки) или метод моментов с использованием квантилей.

Кроме того, распределение Коши не является экспоненциальным семейством, что усложняет его использование в байесовском анализе и обобщённых линейных моделях.

Примеры

Пример 1: Моделирование резонансной линии

В спектроскопии ЯМР форма линии поглощения часто аппроксимируется функцией Лоренца:

\[ I(\omega) = \frac{A}{\pi} \cdot \frac{\gamma}{(\omega - \omega_0)^2 + \gamma^2}, \]

где \( \omega_0 \) — резонансная частота, \( \gamma \) — ширина линии, \( A \) — интегральная интенсивность.

Пример 2: Отношение нормальных величин

Пусть \( X \) и \( Y \) — независимые стандартные нормальные случайные величины. Тогда случайная величина \( Z = X / Y \) имеет стандартное распределение Коши. Это свойство используется в статистике для построения распределения отношения двух независимых оценок дисперсии.

Пример 3: Генерация случайных чисел

Для генерации случайных чисел из распределения Коши можно использовать метод обратного преобразования: если \( U \) — равномерная случайная величина на \( (0, 1) \), то

\[ X = x_0 + \gamma \tan\left( \pi (U - 0.5) \right) \]

имеет распределение Коши с параметрами \( x_0 \) и \( \gamma \).

Источники

• Коши О. Л. «Sur les résultats moyens d’observations de même nature, et sur les résultats les plus probables» (1853).
• Лоренц Х. А. «The Theory of Electrons» (1909).
• Феллер В. «Введение в теорию вероятностей и её приложения», том 2 (1966).
• Кендалл М., Стюарт А. «Теория распределений» (1973).
• Джонсон Н., Коц С., Балакришнан Н. «Непрерывные одномерные распределения», том 1 (1994).