Расстояние в геометрии и физике¶
Расстояние — это длина кратчайшей линии (геодезической) между двумя точками пространства; скалярная величина, характеризующая степень удалённости объектов друг от друга. В классической евклидовой геометрии расстояние между точками определяется длиной отрезка, соединяющего их, и измеряется в метрах и их производных единицах. Понятие расстояния является фундаментальным для математики, физики, географии и ряда прикладных дисциплин.
¶Определение и аксиоматика
В метрическом пространстве расстояние задаётся функцией метрики, удовлетворяющей трём аксиомам:
- недеформированность: расстояние между различными точками строго положительно, между совпадающими — равно нулю;
- симметрия: расстояние от точки A к точке B равно расстоянию от B к A;
- неравенство треугольника: расстояние от A до C не превышает суммы расстояний от A до B и от B до C.
Эти свойства выделяют метрику среди прочих функций на множестве точек и позволяют определить понятие расстояния на произвольных объектах — от множеств чисел до пространств функций.
¶Евклидово расстояние
В декартовой системе координат расстояние между точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на плоскости вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Это прямое следствие теоремы Пифагора. В трёхмерном пространстве формула обобщается:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
В общем n-мерном пространстве суммирование ведётся по всем n координатам. Такое расстояние называется евклидовым или линейным.
¶Виды расстояний
Помимо евклидова, в математике и прикладных задачах используются иные метрики:
| Название | Формула (для двух точек) | Особенность | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Манхэттенское (городских кварталов) | $ | x_2-x_1 | + | y_2-y_1 | $ | Сумма модулей разностей координат; соответствует перемещению по ортогональной сетке улиц |
| Чебышёвское | $\max( | x_2-x_1 | , | y_2-y_1 | )$ | Расстояние по «королевскому» ходу шахматной фигуры |
| Минковского (p-метрика) | $( | x_2-x_1 | ^p + | y_2-y_1 | ^p)^{1/p}$ | Обобщение, при $p=2$ переходит в евклидово |
| Хеммингово | Число различающихся позиций | Применяется в теории кодирования | ||||
| Геодезическое | Длина кратчайшей кривой на поверхности | Учитывает кривизну пространства |
Выбор метрики определяется природой задачи: в теории игр и экономике часто используется манхэттенское расстояние, в информатике — хеммингово, в общей теории относительности — геодезическое.
¶Расстояние в физике
В классической физике расстояние — одна из основных пространственных величин, наряду с перемещением и координатой. Единица измерения расстояния в Международной системе единиц (СИ) — метр, определяемый как расстояние, которое свет проходит за 1/299 792 458 секунды в вакууме.
В теории относительности понятие расстояния уточняется. В специальной теории относительности для двух событий вводится инвариант интервал, который в пространстве Минковского заменяет обычное расстояние. В общей теории относительности расстояние между объектами зависит от распределения массы и энергии: пространство-время искривляется, и геодезические линии (кратчайшие пути) отклоняются от прямых евклидовой геометрии. Так, вблизи массивных тел измеряемое расстояние оказывается больше, чем предсказывала бы классическая формула.
¶Измерение расстояний
Исторически расстояния измерялись с помощью мерных инструментов — линеек, рулеток, цепей. Для больших расстояний применялись триангуляция и астрономические методы. В XX–XXI веках основными инструментами стали:
- лазерная и радиолокационная дальнометрия;
- спутниковые системы позиционирования (ГЛОНАСС, GPS), позволяющие определять координаты с точностью до сантиметров;
- параллакс — измерение расстояний до звёзд по смещению их видимого положения при наблюдении с разных точек земной орбиты.
В астрономии для измерения межзвёздных расстояний используются стандартные свечи (цefeиды), сверхновые типа Ia и красные смещения галактик. Основная единица — парсек (около 3,086·10¹⁶ метров), равный расстоянию, с которого угловой сдвиг половины земной орбиты виден как угол в одну угловую секунду.
¶Применение
Понятие расстояния применяется в географии (картография, навигация, вычисление расстояний между населёнными пунктами), в компьютерных науках (алгоритмы поиска кратчайшего пути, кластеризация данных по сходству), в теории графов (расстояние между вершинами — число рёбер в кратчайшей цепи), в лингвистике (расстояние между словами как мера сходства значений) и в психологии (метрика «расстояния» между индивидуумами по шкале личностных черт).
¶Интересные факты
- Минимальное ненулевое расстояние, различимое человеческим глазом, составляет около 0,1 мм.
- Самое длинное расстояние, преодолённое человеком пешком, — около 25 000 км (маршрут Джорджа Мейгана из Аргентины на Аляску, завершён в 2021 году).
- В квантовой механике понятие расстояния на планковском масштабе (≈1,6·10⁻³⁵ м) может терять обычный смысл из-за квантовых флуктуаций пространства.
Источники:
- Кудрявцев Л. Д. Курс общей физики. — М.: Наука.
- Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука.
- Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика. — М.: Наука.
- Пранглиш С. Метрика: наука о измерении. — М.: Бином.
- Большая математическая энциклопедия. — М.: Большая российская энциклопедия.