Координаты в математике и географии¶

Координаты — это совокупность чисел (или иных символов), задающих положение точки или объекта на плоскости, в пространстве или на какой-либо поверхности. Числа, входящие в набор, называются координатами точки; их количество определяет размерность пространства, в котором задаётся положение. Понятие координат является одним из фундаментальных в математике, географии, астрономии, физике, картографии и информационных технологиях.

¶Общее понятие

Задать координаты объекта — значит поставить ему в соответствие упорядоченный набор чисел таким образом, чтобы это соответствие было взаимно однозначным: каждой точке соответствует единственный набор, и наоборот. Система, устанавливающая такое соответствие, называется системой координат. Выбор системы координат произволен и определяется удобством решения конкретной задачи.

Координатный метод — способ решения геометрических и прикладных задач, при котором геометрические объекты описываются уравнениями и неравенствами относительно координат. Этот метод был впервые системно изложен Рене Декартом в XVII веке и Пьером Ферма независимо от него, что позволило объединить алгебру и геометрию в единую дисциплину — аналитическую геометрию.

¶Виды систем координат

¶Прямоугольная (декартова) система

Наиболее распространённая система. На плоскости задаются две взаимно перпендикулярные оси — абсцисс (обычно горизонтальная, обозначается x) и ординат (вертикальная, обозначается y), пересекающиеся в начале координат. Положение точки описывается парой чисел (x, y) — проекциями на оси. В трёхмерном пространстве добавляется третья ось — аппликат (z), и точка задаётся тройкой (x, y, z).

¶Полярная система

На плоскости положение точки задаётся расстоянием от полюса (радиус-вектор r) и углом φ между радиус-вектором и полярной осью. Удобна при описании процессов, обладающих вращательной симметрией. Связана с декартовой системой соотношениями x = r·cos φ, y = r·sin φ.

¶Цилиндрическая и сферическая системы

В трёхмерном пространстве цилиндрическая система обобщает полярную добавлением высоты z. Сферическая система задаёт точку тремя величинами: расстоянием от начала координат и двумя углами. Сферические координаты широко применяются в астрономии и геодезии.

¶Криволинейные координаты

В более общем случае координатные линии могут быть кривыми, а координатные поверхности — произвольными. Примерами служат эллиптические, параболические и тороидальные координаты. Они используются в теоретической физике при решении уравнений математической физики.

¶Географические координаты

В географии и картографии положение точки на поверхности Земли задаётся географическими координатами:

Широта отсчитывается от экватора к полюсам, долгота — от Гринвичского меридиана к востоку (восточная) или к западу (западная). Экватор имеет широту 0°, Северный и Южный полюсы — 90°. Нулевой меридиан проходит через Гринвичскую обсерваторию в Лондоне; в России исторически использовался Пулковский меридиан.

Географические координаты выражаются в градусах, минутах и секундах либо в десятичных градусах. Для определения координат на местности применяются астрономические наблюдения, спутниковая навигация (GPS, ГЛОНАСС), а на картах — координатная сетка из параллелей и меридианов.

¶Применение

Координаты используются практически во всех областях человеческой деятельности:

• Картография и навигация — построение карт, прокладка маршрутов, работа систем навигации.
• Астрономия — экваториальные, горизонтальные, эклиптические системы координат для описания положения небесных тел.
• Физика и техника — описание полей, движения тел, расчёт конструкций.
• Информатика — компьютерная графика, обработка изображений, адресация пикселей, работа с базами пространственных данных.
• Геодезия и кадастр — определение границ участков, топографические съёмки.
• Военное дело — целеуказание, топопривязка.

¶Системы координат в России

В России для геодезических и картографических работ применяются государственные системы координат. Исторически использовалась система СК-42 (на основе эллипсоида Красовского), затем СК-95, а в настоящее время — система геодезических параметров ГСК-2011, связанная с эллипсоидом ПЗ-90.11. Для спутниковой навигации функционирует отечественная система ГЛОНАСС, запущенная в эксплуатацию в 1993 году и развёрнутая до глобального покрытия к 2011 году. В картографии применяется проекция Гаусса — Крюгера, в которой территория страны разбита на шестиградусные зоны.

¶Интересные факты

• Обозначения x, y, z для неизвестных ввёл Рене Декарт; традиция использовать начальные буквы алфавита для известных величин и конечные — для неизвестных восходит к его работам.
• Прямоугольные координаты иногда называют декартовыми в честь Декарта, хотя аналогичные идеи высказывались и раньше, в частности в работах Николая Орема и Аполлония Пергского.
• В астрономии существует более десяти систем небесных координат, выбор которых зависит от решаемой задачи.
• Ошибка в определении координат на 1° по широте соответствует примерно 111 километрам на поверхности Земли.

¶Источники

• Математическая энциклопедия
• Выгодский М. Я. «Справочник по высшей математике»
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. «Справочник по математике»
• Материалы по геодезии и картографии Росреестра
• Учебники по аналитической геометрии