Сергей Бернштейн

Сергей Бернштейн — русский и советский математик, академик Академии наук СССР (1929, член-корреспондент с 1924), создатель научной школы в области теории приближений и теории вероятностей. Внёс фундаментальный вклад в теорию дифференциальных уравнений, функциональный анализ, алгебру и математическую физику. Наиболее известен работами по конструктивной теории функций, теории вероятностей (неравенство Бернштейна, многочлены Бернштейна) и теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Биография

Ранние годы и образование

Сергей Натанович Бернштейн родился 5 марта (22 февраля по старому стилю) 1880 года в Одессе в семье врача. В 1898 году окончил с золотой медалью Первую одесскую гимназию. В 1899 году поступил на математическое отделение физико-математического факультета Парижского университета (Сорбонна), где учился у Эмиля Пикара, Анри Пуанкаре и Жака Адамара. В 1901 году получил степень лиценциата математических наук. В 1904 году в Париже защитил докторскую диссертацию «Об абсолютно сходящихся рядах», посвящённую теории приближений.

Научная и педагогическая деятельность

В 1904–1907 годах Бернштейн работал в Гёттингенском университете (Германия) под руководством Давида Гильберта и Феликса Клейна. В 1907 году вернулся в Россию. В 1908–1918 годах — приват-доцент, затем профессор Харьковского университета. В 1918–1933 годах — профессор Харьковского технологического института. В 1924 году избран членом-корреспондентом Академии наук СССР, в 1929 году — академиком. В 1933–1941 годах — заведующий кафедрой математики Ленинградского государственного университета, одновременно работал в Математическом институте имени В. А. Стеклова АН СССР. В 1941–1943 годах — в эвакуации в Казани, затем в Москве. С 1943 года и до конца жизни — заведующий кафедрой математики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Смерть

Сергей Бернштейн скончался 26 октября 1968 года в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.

Научные достижения

Теория приближений

Бернштейн является одним из основоположников конструктивной теории функций. В 1912 году он опубликовал работу, в которой ввёл многочлены Бернштейна — аппарат для приближения непрерывных функций с помощью полиномов, заданных на отрезке [0,1]. Многочлены Бернштейна имеют вид:

\[ B_n(f, x) = \sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} \]

Они обладают свойством равномерной сходимости к функции \(f(x)\) на отрезке [0,1] при \(n \to \infty\), если \(f\) непрерывна. Этот результат стал основой для доказательства теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций многочленами.

Бернштейн также установил неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов: если \(T_n(x)\) — тригонометрический полином степени \(n\), то

\[ \max_{x} |T_n'(x)| \le n \max_{x} |T_n(x)| \]

Это неравенство является фундаментальным в теории приближений и гармоническом анализе.

Теория вероятностей

В 1917 году Бернштейн опубликовал работу «Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей», в которой предложил аксиоматику, основанную на понятии вероятности как меры. Эта работа предвосхитила аксиоматику Андрея Николаевича Колмогорова (1933). Бернштейн также ввёл понятие условной вероятности и сформулировал теорему Бернштейна о сходимости последовательностей случайных величин.

В 1920-х годах он разработал метод моментов для оценки параметров распределений, а также доказал неравенство Бернштейна для сумм независимых случайных величин (неравенство Бернштейна — Хёфдинга), которое даёт экспоненциальные оценки вероятностей больших уклонений.

Дифференциальные уравнения и математическая физика

Бернштейн внёс вклад в теорию эллиптических и параболических уравнений в частных производных. В 1904 году он доказал теорему Бернштейна о регулярности решений эллиптических уравнений: если решение уравнения Лапласа или более общего эллиптического уравнения имеет ограниченные вторые производные, то оно является аналитической функцией. В 1910 году он опубликовал работу по теории уравнений с частными производными второго порядка, в которой установил условия существования и единственности решений.

Алгебра и функциональный анализ

В 1910–1920-х годах Бернштейн занимался теорией алгебраических уравнений и теорией матриц. Он ввёл понятие многочленов Бернштейна в алгебре (не путать с одноимёнными многочленами из теории приближений) — полиномов, связанных с представлением симметрических функций. В функциональном анализе он изучал свойства линейных операторов и ввёл класс операторов Бернштейна, сохраняющих форму функций.

Основные труды

• «О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени» (1912)
• «Теория вероятностей» (1927, 4-е издание — 1946)
• «Собрание сочинений» в 4 томах (1952–1964)

Научная школа и ученики

Бернштейн создал крупную научную школу в области теории приближений и теории вероятностей. Среди его учеников — академики АН СССР Александр Яковлевич Хинчин, Владимир Иванович Смирнов, Николай Николаевич Боголюбов, Лев Семёнович Понтрягин, а также профессора Мстислав Всеволодович Келдыш (будущий президент АН СССР) и Александр Геннадиевич Курош.

Признание и награды

• Сталинская премия первой степени (1942) — за работы по теории приближений
• Орден Ленина (1945, 1953)
• Орден Трудового Красного Знамени (1944)
• Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва АН СССР (1947)
• Иностранный член Парижской академии наук (1955)
• Почётный член Американского математического общества (1955)

Память

• Имя Сергея Бернштейна носит Институт математики Национальной академии наук Украины (Харьков, с 1991 года)
• В 1980 году в честь 100-летия со дня рождения выпущена почтовая марка СССР
• В 2010 году в Харькове установлена мемориальная доска на здании бывшего Харьковского технологического института
• В честь учёного названы кратер на Луне (Бернштейн, диаметр 36 км) и астероид (3032 Бернштейн, открыт в 1981 году)

Интересные факты

• Сергей Бернштейн — двоюродный брат композитора и дирижёра Леонарда Бернштейна (США). Их отцы были родными братьями.
• В 1936 году Бернштейн был арестован по обвинению в шпионаже, но через несколько месяцев освобождён благодаря заступничеству академиков А. Н. Крылова и В. А. Стеклова.
• Бернштейн свободно владел французским, немецким и английским языками, переписывался с ведущими математиками мира, включая Анри Лебега и Джона фон Неймана.
• В 1940-х годах он активно участвовал в разработке математических методов для аэродинамики и баллистики в рамках советской оборонной программы.

Источники

• Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. Т. 1–4. — М.: Издательство АН СССР, 1952–1964.
• Колмогоров А. Н. Сергей Натанович Бернштейн (к 80-летию со дня рождения) // Успехи математических наук. — 1960. — Т. 15, № 3.
• Гнеденко Б. В. Сергей Натанович Бернштейн (1880–1968) // Математика в школе. — 1969. — № 1.
• Ляпунова Т. С. Сергей Натанович Бернштейн. — М.: Наука, 1980.
• Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988.