Симметричная положительно определённая матрица¶

Симметричная положительно определённая матрица — квадратная матрица \(A\) размера \(n \times n\) над полем действительных чисел, которая удовлетворяет двум условиям: она симметрична (\(A^T = A\)) и положительно определена, то есть для любого ненулевого вектора \(x \in \mathbb{R}^n\) выполняется строгое неравенство \(x^T A x > 0\).

Данный класс матриц является центральным объектом линейной алгебры, численных методов и оптимизации благодаря своим устойчивым вычислительным свойствам и тесной связи с геометрией (квадратичными формами) и физикой (энергией систем).

¶Определение и эквивалентные критерии

Формальное определение требует проверки неравенства для всех ненулевых векторов, что на практике неэффективно. Существуют эквивалентные критерии, позволяющие установить положительную определённость проще:

• Критерий Сильвестра: все угловые (главные) миноры матрицы положительны.
• Собственные значения: все собственные значения матрицы строго положительны.
• Разложение Холецкого: матрица представима в виде \(A = LL^T\), где \(L\) — нижняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами (существует и единственно).
• Обратимость и знак определителя: матрица невырождена, и все её главные миноры (не только угловые) положительны.

Для симметричной матрицы положительная определённость также эквивалентна тому, что все ведущие главные миноры положительны, что и составляет содержание критерия Сильвестра.

¶Свойства

Из определения и критериев вытекают фундаментальные свойства:

• Невырожденность: матрица всегда обратима; обратная матрица \(A^{-1}\) также является симметричной положительно определённой.
• Положительность диагонали: все диагональные элементы \(a_{ii} > 0\) (следует из подстановки вектора \(x = e_i\)).
• Положительность определителя: \(\det(A) > 0\).
• Устойчивость разложения: для любой главной подматрицы (полученной удалением строк и столбцов с одинаковыми индексами) свойство положительной определённости сохраняется.
• Сумма и масштабирование: сумма двух симметричных положительно определённых матриц и умножение на положительное число сохраняют свойство.
• Произведение: произведение двух таких матриц, вообще говоря, не является симметричным, однако если они коммутируют, то произведение также положительно определённо.
• Число обусловленности: матрица хорошо обусловлена в смысле спектральной нормы, так как отношение максимального собственного значения к минимальному конечно и положительно.

¶Геометрическая интерпретация

Симметричная положительно определённая матрица задаёт скалярное произведение в \(\mathbb{R}^n\): \(\langle x, y \rangle_A = x^T A y\). Соответствующая квадратичная форма \(Q(x) = x^T A x\) определяет эллипсоид \(\{x : x^T A x \le 1\}\), полуоси которого обратно пропорциональны квадратным корням из собственных значений. Таким образом, матрица кодирует анизотропную метрику в пространстве, что широко используется в методах оптимизации (метод Ньютона, методы сопряжённых градиентов) для учёта кривизны функции.

¶Применение

¶Численные методы

• Метод сопряжённых градиентов: предназначен для решения систем \(Ax = b\) с симметричной положительно определённой матрицей; гарантирует сходимость за конечное число итераций (в точной арифметике) и быструю сходимость при хорошей обусловленности.
• Разложение Холецкого: в два раза дешевле LU-разложения (требует \(\frac{n^3}{3}\) операций против \(\frac{2n^3}{3}\)) и используется для решения систем, обращения матриц и в методе наименьших квадратов.

¶Оптимизация

В выпуклой оптимизации положительно определённый гессиан (матрица вторых производных) в точке минимума является достаточным условием локального минимума. Квадратичные функции с такой матрицей строго выпуклы и имеют единственную точку минимума, что лежит в основе квадратичного программирования.

¶Статистика и теория вероятностей

Ковариационная матрица многомерного нормального распределения является симметричной положительно полуопределённой; для невырожденного распределения — положительно определённой. Это свойство гарантирует существование плотности распределения и корректность линейных преобразований.

¶Механика и физика

Матрицы жёсткости и масс в методе конечных элементов для упругих систем являются симметричными положительно определёнными, что отражает положительность потенциальной энергии деформации и устойчивость равновесия. Матрица проводимости в электрических цепях также обладает этим свойством.

¶Связь с положительной полуопределённостью

Если неравенство \(x^T A x \ge 0\) допускает равенство для ненулевых векторов, матрица называется положительно полуопределённой. Такие матрицы имеют неотрицательные собственные значения и могут быть вырожденными. Любая симметричная положительно полуопределённая матрица представима в виде \(B^T B\), где \(B\) — некоторая матрица, что используется в разложении по сингулярным числам и в методе главных компонент.

¶Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967.
• Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989.
• Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.
• Бойд С., Ванденберге Л. Выпуклая оптимизация. — М.: МЦНМО, 2018.