Срединный треугольник и его свойства¶

Срединный треугольник — это треугольник, вершины которого являются серединами сторон исходного треугольника. Также известен как треугольник серединных точек или дополнительный треугольник. Срединный треугольник относится к классу центральных треугольников и является одним из базовых объектов геометрии треугольника, обладая рядом фундаментальных свойств, связывающих его с исходной фигурой.

¶Определение и построение

Пусть дан произвольный треугольник \(ABC\) с вершинами \(A\), \(B\) и \(C\). Если обозначить через \(A'\), \(B'\) и \(C'\) середины сторон \(BC\), \(CA\) и \(AB\) соответственно, то треугольник \(A'B'C'\) называется срединным треугольником для \(ABC\). Операция построения срединного треугольника может быть применена повторно: срединный треугольник от срединного треугольника называется вторым срединным треугольником, и так далее.

¶Основные свойства

¶Подобие и гомотетия

Срединный треугольник подобен исходному треугольнику. Коэффициент подобия равен 1/2. Это подобие является гомотетией с центром в центроиде (точке пересечения медиан) исходного треугольника и коэффициентом −1/2. Следствием этого является то, что стороны срединного треугольника параллельны соответствующим сторонам исходного треугольника: сторона \(B'C'\) параллельна стороне \(BC\), сторона \(C'A'\) параллельна \(CA\), а сторона \(A'B'\) параллельна \(AB\).

¶Площадь и периметр

Площадь срединного треугольника составляет ровно одну четверть площади исходного треугольника. Периметр срединного треугольника равен половине периметра исходного треугольника. Эти соотношения вытекают непосредственно из коэффициента подобия.

¶Разбиение исходного треугольника

Срединный треугольник делит исходный треугольник на четыре равных треугольника, каждый из которых подобен исходному с коэффициентом 1/2. Эти четыре треугольника конгруэнтны друг другу. Три из них расположены по углам исходного треугольника, а четвёртый — центральный, являющийся самим срединным треугольником.

¶Ортоцентр и описанная окружность

Ортоцентр срединного треугольника совпадает с центром описанной окружности исходного треугольника. Описанная окружность срединного треугольника (окружность девяти точек) проходит через середины сторон исходного треугольника, а также через основания его высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами.

¶Медианы и центроид

Центроид срединного треугольника совпадает с центроидом исходного треугольника. Медианы срединного треугольника лежат на медианах исходного треугольника и делят их в том же отношении.

¶Связь с другими геометрическими объектами

¶Окружность девяти точек

Описанная окружность срединного треугольника является окружностью девяти точек исходного треугольника. Это одна из ключевых теорем, связывающая срединный треугольник с ортоцентром и описанной окружностью исходной фигуры.

¶Треугольник, дополнительный к данному

Срединный треугольник также называют дополнительным треугольником. Он находится в отношении дополнительности к серединному треугольнику: если исходный треугольник является срединным для некоторого треугольника, то этот внешний треугольник называется антидополнительным.

¶Треугольник, обратный к данному

Если соединить середины сторон срединного треугольника, получится треугольник, гомотетичный исходному с коэффициентом 1/4. Итеративное построение срединных треугольников порождает последовательность вложенных подобных треугольников, сходящихся к центроиду.

¶Применение

Срединный треугольник широко используется в геометрических доказательствах и задачах. Он применяется при доказательстве теоремы о средней линии, при нахождении площадей сложных фигур, а также в триангуляции поверхностей. В компьютерной графике и вычислительной геометрии разбиение треугольника на четыре меньших треугольника путём соединения середин сторон используется для адаптивного сглаживания сеток и в алгоритмах детализации.

¶Обобщения

Понятие срединного треугольника обобщается на многоугольники: срединный многоугольник строится соединением середин сторон исходного многоугольника. Для четырёхугольника срединный многоугольник является параллелограммом (теорема Вариньона). В трёхмерном пространстве аналогом является срединный тетраэдр, вершины которого — середины рёбер исходного тетраэдра.

¶Источники

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. «Новые встречи с геометрией».
• Прасолов В. В. «Задачи по планиметрии».
• Адамар Ж. «Элементарная геометрия».