Свойства биссектрисы угла и треугольника¶

Биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на две равные части. В геометрии различают биссектрису угла (луч или отрезок внутри угла) и биссектрису треугольника (отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол при этой вершине пополам). Понятие биссектрисы лежит в основе ряда важных теорем планиметрии и широко применяется при решении задач на построение, доказательство и вычисление.

¶Основные свойства биссектрисы угла

Каждая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон. Это свойство является определяющим: множество точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, образует пару биссектрис — внутреннюю и внешнюю. Обратное утверждение также верно: если точка равноудалена от сторон угла, она лежит на его биссектрисе.

Из этого свойства вытекает способ построения биссектрисы с помощью циркуля и линейки: из вершины угла проводят дугу произвольного радиуса, затем из полученных точек пересечения со сторонами — ещё две дуги равного радиуса; их пересечение и даёт точку на биссектрисе.

Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. Эти соотношения часто используются при решении задач на доказательство.

¶Биссектриса треугольника

В треугольнике биссектриса угла пересекает противоположную сторону во внутренней точке (для внутреннего угла). Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — инцентре, который является центром вписанной окружности. Это одна из классических «замечательных точек» треугольника наряду с точками пересечения медиан, высот и серединных перпендикуляров.

Инцентр равноудалён от всех трёх сторон треугольника, а расстояние от него до каждой стороны равно радиусу вписанной окружности. Положение инцентра в треугольнике всегда внутреннее, независимо от типа треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный).

¶Теорема о биссектрисе (свойство деления стороны)

Ключевое метрическое свойство: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Если в треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D, то

BD / DC = AB / AC.

Эта теорема носит имя древнегреческого геометра, она приведена в «Началах» Евклида и служит основой для многих вычислений. Существует и аналог для биссектрисы внешнего угла: она делит противоположную сторону внешним образом в отношении, также равном отношению прилежащих сторон.

¶Формулы длины биссектрисы

Длину биссектрисы l, проведённой к стороне a из угла A, можно вычислить несколькими способами:

• через стороны треугольника: l² = bc − mn, где m и n — отрезки, на которые биссектриса делит сторону a, а b и c — прилежащие стороны;
• через две стороны и угол: l = 2bc·cos(A/2) / (b + c);
• через стороны и полупериметр: l = √(bc·(1 − a²/(b+c)²)).

Эти формулы позволяют находить длину биссектрисы без дополнительных построений, зная элементы треугольника.

¶Связанные понятия и теоремы

С биссектрисой тесно связаны несколько классических результатов планиметрии.

Свойство биссектрисы и вписанной окружности. Точка пересечения биссектрис — центр вписанной окружности; радиус вписанной окружности r связан с площадью S и полупериметром p соотношением r = S / p.

Теорема о трилистнике. В треугольнике точка пересечения биссектрисы с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и инцентра. Это свойство используется при решении задач на окружности.

Биссектриса в равнобедренном треугольнике. Биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Это частный случай общего свойства: в равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине обладает осевой симметрией.

Биссектриса параллелограмма. Биссектрисы двух соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллельны. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

¶Применение

Свойства биссектрисы применяются в геодезии и навигации при определении равноудалённых линий, в задачах на построение (деление угла пополам, построение вписанных окружностей), в архитектуре и черчении. В аналитической геометрии уравнение биссектрисы угла между двумя прямыми получают, приравнивая нормированные уравнения этих прямых. В тригонометрии формулы половинного угла напрямую связаны с понятием биссектрисы.

В школьном курсе геометрии свойства биссектрисы изучаются в разделе планиметрии и служат базой для более сложных тем — вписанных и описанных многоугольников, подобия треугольников, координатного метода.

¶Историческая справка

Понятие биссектрисы встречается уже в античной геометрии. Евклид в «Началах» (около III века до н. э.) рассматривает деление угла пополам и приводит построение биссектрисы. Теорема о пропорциональности отрезков стороны прилежащим сторонам традиционно связывается с именем древнегреческого математика, хотя её доказательство встречается и в более ранних источниках. Термин «биссектриса» происходит от латинских слов bis (дважды) и secare (рассекать) — «рассекающая надвое».

¶Источники

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия. 7–9 классы.
• Погорелов А. В. Геометрия. Учебник для средней школы.
• Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
• Евклид. Начала (перевод и комментарии).