Биссектриса угла и её свойства¶

Биссектриса — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. В геометрии это одно из базовых понятий, связанное с измерением углов, построением треугольников и решением метрических задач. Понятие применяется как к плоским углам, так и к углам между прямыми и плоскостями в стереометрии, а также обобщается на другие геометрические объекты.

¶Определение и обозначение

Биссектрисой угла называется геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от его сторон. Это определение эквивалентно первому: множество точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, образует пару биссектрис — внутреннюю и внешнюю, перпендикулярных друг другу. Внутренняя биссектриса лежит внутри угла, внешняя — в вертикальном (смежном через продолжение сторон) углу.

В записи биссектрису обычно обозначают лучом с указанием вершины, например: луч OB — биссектриса угла AOC, если ∠AOB = ∠BOC. В треугольнике биссектрисой называют также отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне и делящий соответствующий угол пополам.

¶Свойства биссектрисы угла

Основные свойства:

Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла, и наоборот: точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Биссектриса является осью симметрии угла: отражение относительно неё переводит одну сторону угла в другую.
В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит его на два угла по 45°.

¶Биссектриса треугольника

В треугольнике из каждой вершины можно провести одну биссектрису; всего их три, и все они пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности (инцентре). Эта точка равноудалена от всех трёх сторон треугольника, поэтому является центром окружности, касающейся каждой стороны.

¶Теорема о биссектрисе

Ключевое метрическое утверждение: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Если в треугольнике ABC биссектриса из вершины A пересекает сторону BC в точке D, то

BD / DC = AB / AC.

Из этой теоремы, в частности, следует, что медиана и биссектриса совпадают только в равнобедренном треугольнике (проведённые к основанию), а в равностороннем треугольнике все биссектрисы одновременно являются медианами и высотами.

¶Формулы длины

Длину биссектрисы l, проведённой к стороне a из угла A, можно вычислить несколькими способами. Через стороны треугольника:

l² = bc − mn,

где b и c — прилежащие стороны, а m и n — отрезки, на которые биссектриса делит сторону a. Через угол:

l = 2bc·cos(A/2) / (b + c).

Существуют и выражения через площадь, полупериметр и радиус вписанной окружности.

¶Связанные понятия

С биссектрисой тесно связаны несколько конструкций:

Серединный перпендикуляр — прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно ему; аналогично биссектрисе задаётся через равноудалённость, но от концов отрезка, а не от сторон угла.
Биссектриса двугранного угла — плоскость, делящая двугранный угол на два равных; множество точек, равноудалённых от граней двугранного угла.
Биссектриса треугольника как чевиана — частный случай чевианы, для которой выполняется теорема о пропорциональных отрезках.

¶Построение

Классическое построение биссектрисы циркулем и линейкой выполняется в несколько шагов. Из вершины угла проводят дугу произвольного радиуса, пересекающую обе стороны. Из полученных точек тем же радиусом проводят две дуги до их пересечения. Прямая, соединяющая вершину угла с точкой пересечения дуг, и есть биссектриса. Метод опирается на равенство треугольников по трём сторонам и не требует измерения углов.

В аналитической геометрии биссектрису двух прямых находят через нормализацию их уравнений: если прямые заданы уравнениями a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0, то уравнения биссектрис получаются приравниванием нормированных левых частей с учётом знаков.

¶Применение

Понятие биссектрисы используется в самых разных областях:

В планиметрии и стереометрии — при доказательстве теорем, вычислении площадей и построении вписанных окружностей.
В тригонометрии — при выводе формул половинного угла и преобразованиях выражений.
В начертательной геометрии и инженерной графике — для деления углов и построения сопряжений.
В геодезии и картографии — при разбивке участков и выносе осей сооружений.
В оптике — закон отражения связывает падающий и отражённый лучи с нормалью, а биссектриса угла между ними указывает направление нормали к поверхности.
В компьютерной графике и вычислительной геометрии — при построении скелетов фигур и разбиении областей.

¶Историческая справка

Свойства биссектрисы были известны ещё в античной геометрии. В «Началах» Евклида (III век до н. э.) доказывается, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности. Теорема о делении стороны в отношении прилежащих сторон также восходит к античным источникам и традиционно приписывается школе Евклида. В дальнейшем понятие развивалось в работах по проективной и аналитической геометрии, где биссектриса рассматривается как частный случай равноудалённого множества.

¶Интересные факты

Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, тогда как для произвольных чевиан это неверно.
Точка пересечения биссектрис (инцентр) — одна из классических «замечательных точек» треугольника наряду с центроидом, ортоцентром и центром описанной окружности.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой, высотой и серединным перпендикуляром.
Биссектриса внешнего угла треугольника делит противоположную сторону внешним образом в отношении прилежащих сторон.

Источники: учебники по геометрии для средней школы, «Начала» Евклида, справочники по элементарной и аналитической геометрии, математические энциклопедии.