Тензор энергии-импульса¶

Тензор энергии-импульса (также тензор энергии-импульса, тензор напряжений-энергии) — это симметричный тензор второго ранга в физике, который описывает плотность и поток энергии и импульса в пространстве-времени. Является фундаментальным понятием общей теории относительности, где выступает источником гравитационного поля в уравнениях Эйнштейна, а также в классической теории поля и квантовой теории поля. Тензор энергии-импульса обобщает понятия плотности энергии, плотности импульса и потока импульса (напряжений) из классической механики и электродинамики на четырёхмерное пространство-время.

¶Определение и компоненты

В специальной теории относительности тензор энергии-импульса \( T^{\mu\nu} \) (где индексы \(\mu, \nu = 0,1,2,3\)) является симметричным: \( T^{\mu\nu} = T^{\nu\mu} \). Его компоненты имеют следующий физический смысл:

• \( T^{00} \) — плотность энергии (энергия на единицу объёма).
• \( T^{0i} \) (для \( i=1,2,3 \)) — плотность импульса в направлении оси \( x^i \) (или, что эквивалентно, поток энергии в направлении \( x^i \), делённый на скорость света \( c \)).
• \( T^{i0} \) — плотность импульса в направлении оси \( x^i \); в силу симметрии \( T^{i0} = T^{0i} \).
• \( T^{ij} \) (для \( i,j=1,2,3 \)) — тензор напряжений (поток \( i \)-й компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси \( x^j \)). Диагональные компоненты \( T^{ii} \) соответствуют нормальным напряжениям (давлению), недиагональные — касательным напряжениям (сдвигу).

В системе единиц, где \( c = 1 \), все компоненты имеют размерность плотности энергии (например, Дж/м³ в СИ). В общей теории относительности тензор обычно записывается в координатном базисе с учётом метрического тензора \( g_{\mu\nu} \).

¶Свойства

¶Симметрия

Симметрия тензора энергии-импульса (\( T^{\mu\nu} = T^{\nu\mu} \)) является следствием закона сохранения момента импульса в релятивистской теории. В отсутствие внешних моментов сил тензор всегда может быть приведён к симметричному виду.

¶Закон сохранения

В специальной теории относительности и в искривлённом пространстве-времени (в отсутствие внешних сил) дивергенция тензора энергии-импульса равна нулю:

\[ \partial_\mu T^{\mu\nu} = 0 \quad \text{(в плоском пространстве)} \] или \[ \nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0 \quad \text{(в искривлённом пространстве)}, \]

где \( \partial_\mu \) — частная производная, а \( \nabla_\mu \) — ковариантная производная. Это уравнение выражает локальное сохранение энергии и импульса. В общей теории относительности из-за гравитационного поля сохраняется не сам тензор, а его комбинация с гравитационным полем, что приводит к понятию псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля.

¶Условия на энергию

Для физически разумных полей и материи на тензор накладываются дополнительные условия, известные как условия на энергию (energy conditions). Наиболее распространённые:

• Слабое энергетическое условие (WEC): для любого времениподобного вектора \( v^\mu \) \( T_{\mu\nu} v^\mu v^\nu \geq 0 \), что означает неотрицательность плотности энергии для любого наблюдателя.
• Сильное энергетическое условие (SEC): для любого времениподобного вектора \( v^\mu \) \( (T_{\mu\nu} - \frac{1}{2} T g_{\mu\nu}) v^\mu v^\nu \geq 0 \), что необходимо для гравитационного притяжения.
• Доминантное энергетическое условие (DEC): плотность энергии неотрицательна и поток энергии не превышает скорости света.

Нарушение этих условий возможно в некоторых квантовых эффектах (например, эффект Казимира) и в моделях тёмной энергии.

¶Примеры для различных полей и сред

¶Идеальная жидкость

Для идеальной жидкости (без вязкости и теплопроводности) тензор энергии-импульса имеет вид:

\[ T^{\mu\nu} = (\rho + p) u^\mu u^\nu + p g^{\mu\nu}, \]

где \( \rho \) — плотность энергии в системе покоя жидкости, \( p \) — давление, \( u^\mu \) — 4-скорость элемента жидкости, \( g^{\mu\nu} \) — метрический тензор. В системе покоя жидкости (где \( u^\mu = (1,0,0,0) \)):

\[ T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \end{pmatrix}. \]

¶Электромагнитное поле

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля в вакууме (тензор Максвелла) выражается через тензор электромагнитного поля \( F_{\mu\nu} \):

\[ T^{\mu\nu}_{\text{EM}} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu\alpha} F^\nu_{\ \alpha} - \frac{1}{4} g^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \right), \]

где \( \mu_0 \) — магнитная постоянная. Его компоненты включают плотность энергии \( \frac{1}{2} (\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2) \), вектор Пойнтинга (поток энергии) и тензор напряжений Максвелла.

¶Скалярное поле

Для действительного скалярного поля \( \phi \) с лагранжианом \( \mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - V(\phi) \) тензор энергии-импульса равен:

\[ T^{\mu\nu} = (\partial^\mu \phi)(\partial^\nu \phi) - g^{\mu\nu} \left( \frac{1}{2} (\partial_\alpha \phi)(\partial^\alpha \phi) - V(\phi) \right). \]

¶Пыль (бесстолкновительная материя)

Для пыли (давление \( p=0 \)):

\[ T^{\mu\nu} = \rho u^\mu u^\nu. \]

¶Вакуум и космологическая постоянная

В общей теории относительности космологическая постоянная \( \Lambda \) может быть интерпретирована как тензор энергии-импульса вакуума:

\[ T^{\mu\nu}_{\text{vac}} = -\frac{\Lambda c^4}{8\pi G} g^{\mu\nu}, \]

что соответствует жидкости с уравнением состояния \( p = -\rho \).

¶Роль в общей теории относительности

В общей теории относительности тензор энергии-импульса является источником гравитационного поля. Уравнения Эйнштейна имеют вид:

\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, \]

где \( R_{\mu\nu} \) — тензор Риччи, \( R \) — скалярная кривизна, \( G \) — гравитационная постоянная, \( c \) — скорость света. Левая часть описывает геометрию пространства-времени, правая — распределение материи и энергии.

Тензор энергии-импульса определяет, как материя искривляет пространство-время. Например, для сферически-симметричного невращающегося тела (звезды) решение уравнений Эйнштейна с тензором идеальной жидкости даёт метрику Шварцшильда вне тела и внутреннее решение (например, метрику Толмена — Оппенгеймера — Волкова) внутри.

¶В квантовой теории поля

В квантовой теории поля тензор энергии-импульса становится оператором, действующим на состояния квантового поля. Его средние значения по состояниям дают классические плотности энергии и импульса. Важным понятием является вакуумное ожидание тензора энергии-импульса, которое в квантовой теории поля может быть ненулевым из-за квантовых флуктуаций (например, эффект Казимира, рождение частиц в расширяющейся Вселенной). Перенормировка этого тензора — сложная задача, связанная с устранением расходимостей.

¶Критика и ограничения

• В общей теории относительности тензор энергии-импульса не включает гравитационное поле, что приводит к проблеме локализации энергии гравитации. Для её описания вводят псевдотензор (например, псевдотензор Ландау — Лифшица), который не является истинным тензором и зависит от выбора координат.
• В некоторых моделях (например, в теориях с высшими производными) тензор энергии-импульса может быть несимметричным, что требует модификации законов сохранения.
• Для квантовых полей в искривлённом пространстве-времени определение тензора энергии-импульса сталкивается с проблемами перенормировки и зависимости от состояния.

¶Интересные факты

• Тензор энергии-импульса впервые был введён в специальной теории относительности Германом Минковским в 1908 году.
• В общей теории относительности из тензора энергии-импульса следует, что гравитация притягивает для обычной материи, но для вакуума с космологической постоянной возможен эффект антигравитации (ускоренное расширение Вселенной).
• В электродинамике тензор энергии-импульса позволяет вычислить силу, действующую на заряды и токи, через интеграл от потока импульса.

¶Источники

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1988.
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977.
• Вайнберг С. Гравитация и космология. — М.: Мир, 1975.
• Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. — М.: Мир, 1977.
• Пенроуз Р. Путь к реальности. — М.: РХД, 2007.