Тензор напряжений Максвелла

Тензор напряжений Максвелла — это тензорное поле второго ранга, используемое в классической электродинамике для описания плотности потока импульса электромагнитного поля. Он представляет собой математический объект, компоненты которого определяют силы, действующие на единицу площади со стороны электромагнитного поля в данной точке пространства. Тензор напряжений Максвелла является аналогом тензора напряжений в механике сплошных сред, но применительно к электромагнитному полю. Он позволяет вычислять механические силы, возникающие при взаимодействии полей с зарядами и токами, а также при распространении электромагнитных волн.

Определение и математическая форма

В системе СИ тензор напряжений Максвелла T определяется следующим образом:

\[ T_{ij} = \varepsilon_0 \left( E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2 \right) + \frac{1}{\mu_0} \left( B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2 \right), \]

где:

• \(E_i\) и \(B_i\) — компоненты векторов напряжённости электрического поля E и магнитной индукции B;
• \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная;
• \(\mu_0\) — магнитная постоянная;
• \(\delta_{ij}\) — символ Кронекера (равен 1 при \(i=j\) и 0 при \(i \ne j\));
• \(E^2 = E_x^2 + E_y^2 + E_z^2\) и \(B^2 = B_x^2 + B_y^2 + B_z^2\) — квадраты модулей полей.

В системе Гаусса (СГС) определение имеет вид:

\[ T_{ij} = \frac{1}{4\pi} \left( E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2 \right) + \frac{1}{4\pi} \left( B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2 \right). \]

Тензор является симметричным: \(T_{ij} = T_{ji}\). Его диагональные компоненты (\(i=j\)) соответствуют нормальным напряжениям (давлению или натяжению), а недиагональные (\(i \ne j\)) — касательным напряжениям (сдвигу).

Физический смысл

Тензор напряжений Максвелла связывает электромагнитное поле с механическими силами. Если рассмотреть замкнутую поверхность \(S\), то полная сила F, действующая на заряды и токи внутри объёма \(V\), ограниченного этой поверхностью, может быть выражена через поток тензора через поверхность:

\[ \mathbf{F} = \oint_S \mathbf{T} \cdot \mathbf{n} \, dS - \frac{d}{dt} \int_V \mathbf{g} \, dV, \]

где \(\mathbf{g} = \varepsilon_0 \mu_0 \mathbf{S}\) — плотность импульса электромагнитного поля (\(\mathbf{S}\) — вектор Пойнтинга), а \(\mathbf{n}\) — внешняя нормаль к поверхности. Первое слагаемое представляет собой поток импульса через поверхность, второе — скорость изменения импульса поля внутри объёма.

Таким образом, тензор напряжений Максвелла описывает, как электромагнитное поле передаёт импульс от одной части пространства к другой, выступая в роли посредника в силовом взаимодействии между заряженными телами.

Компоненты тензора

В декартовой системе координат компоненты тензора \(T_{ij}\) имеют следующий вид:

• Диагональные компоненты (нормальные напряжения):
• \(T_{xx} = \varepsilon_0 \left( E_x^2 - \frac{1}{2}E^2 \right) + \frac{1}{\mu_0} \left( B_x^2 - \frac{1}{2}B^2 \right)\)
• \(T_{yy} = \varepsilon_0 \left( E_y^2 - \frac{1}{2}E^2 \right) + \frac{1}{\mu_0} \left( B_y^2 - \frac{1}{2}B^2 \right)\)
• \(T_{zz} = \varepsilon_0 \left( E_z^2 - \frac{1}{2}E^2 \right) + \frac{1}{\mu_0} \left( B_z^2 - \frac{1}{2}B^2 \right)\)

• Недиагональные компоненты (касательные напряжения):
• \(T_{xy} = T_{yx} = \varepsilon_0 E_x E_y + \frac{1}{\mu_0} B_x B_y\)
• \(T_{xz} = T_{zx} = \varepsilon_0 E_x E_z + \frac{1}{\mu_0} B_x B_z\)
• \(T_{yz} = T_{zy} = \varepsilon_0 E_y E_z + \frac{1}{\mu_0} B_y B_z\)

Свойства

• Симметричность: \(T_{ij} = T_{ji}\), что следует из симметрии вкладов электрического и магнитного полей.
• След тензора: Для электромагнитного поля в вакууме след тензора (сумма диагональных компонент) равен нулю: \(T_{xx} + T_{yy} + T_{zz} = 0\). Это связано с тем, что для электромагнитного поля в вакууме инвариант \(E^2 - c^2 B^2\) может быть не равен нулю, но след тензора обращается в нуль.
• Связь с законом сохранения импульса: Тензор напряжений Максвелла входит в уравнение непрерывности для импульса электромагнитного поля:

\[ \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{T} = -\mathbf{f}, \] где \(\mathbf{f}\) — плотность силы Лоренца, действующей на заряды и токи. Это уравнение выражает закон сохранения импульса в электродинамике: изменение импульса поля в единице объёма равно потоку импульса через границу и силе, действующей на вещество.

Применение

Электростатика и магнитостатика

В статических полях тензор напряжений Максвелла позволяет вычислять силы, действующие на проводники, диэлектрики и магнетики. Например, с его помощью можно найти силу притяжения между обкладками конденсатора или силу, действующую на магнитный диполь в неоднородном магнитном поле.

Электромагнитные волны

Для плоской электромагнитной волны в вакууме тензор напряжений Максвелла описывает перенос импульса. В такой волне электрическое и магнитное поля перпендикулярны друг другу и направлению распространения, а компоненты тензора соответствуют давлению света. Давление света на поверхность, рассчитанное через тензор, совпадает с результатами, полученными из квантовой теории (для фотонов).

Силы в вакууме и на границах раздела сред

Тензор напряжений Максвелла используется для расчёта сил, возникающих на границе раздела двух сред с разными диэлектрическими или магнитными проницаемостями. Например, он позволяет определить силу, действующую на поверхность раздела «вакуум — диэлектрик» при наличии электрического поля, что важно для понимания явлений электрострикции и пондеромоторных сил.

Технические приложения

В электротехнике и радиофизике тензор напряжений Максвелла применяется для расчёта механических напряжений в обмотках трансформаторов, катушках индуктивности и других устройствах, работающих в сильных электромагнитных полях. Он также используется в задачах магнитной левитации и при проектировании электромагнитных подвесов.

Историческая справка

Тензор напряжений был введён Джеймсом Клерком Максвеллом в 1860-х годах в рамках его теории электромагнитного поля. Максвелл рассматривал электромагнитное поле как механическую среду — эфир, и пытался описать напряжения в этой среде, аналогичные упругим напряжениям. Хотя гипотеза о механическом эфире впоследствии была отвергнута, тензор напряжений сохранил своё значение как математический инструмент, точно описывающий силовое действие электромагнитного поля.

Источники

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 2. Теория поля. — М.: Наука, 1988.
2. Джексон Дж. Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965.
3. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Том 3. Электричество. — М.: Наука, 1977.
4. Максвелл Дж. К. Трактат об электричестве и магнетизме. — М.: Наука, 1989.