Тензор кривизны Римана

Тензор кривизны Римана (тензор Римана, тензор кривизны) — фундаментальный математический объект в римановой геометрии и общей теории относительности, который количественно описывает искривление многообразия. Тензор кривизны определяет, насколько геометрия пространства отклоняется от евклидовой (плоской) геометрии, и является центральным понятием в дифференциальной геометрии, позволяя измерять неевклидовость пространства в каждой его точке.

Определение и формальное выражение

Тензор кривизны Римана представляет собой тензор валентности (1,3) или (0,4), который задаётся через связность Леви-Чивиты. В координатном представлении компоненты тензора Римана \( R^i_{jkl} \) выражаются через символы Кристоффеля \( \Gamma^i_{jk} \) следующим образом:

\[ R^i_{jkl} = \partial_k \Gamma^i_{jl} - \partial_l \Gamma^i_{jk} + \Gamma^i_{mk} \Gamma^m_{jl} - \Gamma^i_{ml} \Gamma^m_{jk} \]

где \( \partial_k \) обозначает частную производную по координате \( x^k \), а индексы \( i, j, k, l \) пробегают значения от 1 до \( n \) (размерность многообразия). Это выражение является результатом коммутации ковариантных производных: для векторного поля \( V \) выполняется равенство:

\[ (\nabla_k \nabla_l - \nabla_l \nabla_k) V^j = R^j_{ikl} V^i \]

Тензор кривизны также может быть определён через параллельный перенос вектора вдоль замкнутого контура: при обносе вектора вокруг бесконечно малой петли его изменение пропорционально тензору Римана.

История и происхождение

Понятие тензора кривизны было введено Бернхардом Риманом в 1854 году в его знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Риман обобщил гауссову кривизну поверхностей на многомерные пространства, предложив математический аппарат для описания внутренней геометрии. В 1861 году Элвин Бруно Кристоффель разработал символы, названные его именем, которые стали ключевым инструментом для вычисления тензора кривизны. В начале XX века тензор Римана был использован Альбертом Эйнштейном в общей теории относительности для описания гравитации: уравнения Эйнштейна связывают тензор кривизны с распределением материи и энергии.

Свойства и симметрии

Тензор кривизны Римана обладает рядом фундаментальных алгебраических и дифференциальных свойств:

• Антисимметрия по последним двум индексам: \( R^i_{jkl} = -R^i_{jlk} \)
• Антисимметрия по первым двум индексам (для тензора (0,4)): \( R_{ijkl} = -R_{jikl} \)
• Симметрия относительно перестановки пар индексов: \( R_{ijkl} = R_{klij} \)
• Первое тождество Бианки: \( R^i_{jkl} + R^i_{klj} + R^i_{ljk} = 0 \)
• Второе тождество Бианки: \( \nabla_m R^i_{jkl} + \nabla_k R^i_{jlm} + \nabla_l R^i_{jmk} = 0 \)

Для \( n \)-мерного многообразия тензор Римана имеет \( \frac{n^2(n^2-1)}{12} \) независимых компонент. Например, для двумерного многообразия (\( n=2 \)) существует только одна независимая компонента, которая сводится к гауссовой кривизне; для трёхмерного — 6 компонент; для четырёхмерного пространства-времени — 20 компонент.

Геометрическая интерпретация

Тензор кривизны Римана измеряет отклонение геометрии многообразия от евклидовой. В каждой точке многообразия тензор кривизны определяет, как изменяется направление вектора при параллельном переносе вдоль замкнутого контура. Если тензор Римана тождественно равен нулю во всех точках, многообразие является плоским (локально изометричным евклидову пространству). Ненулевой тензор указывает на наличие кривизны.

В двумерном случае тензор Римана выражается через гауссову кривизну \( K \): \[ R_{1212} = K \cdot (g_{11}g_{22} - g_{12}^2) \] где \( g_{ij} \) — метрический тензор. В более высоких размерностях тензор Римана содержит информацию о секционных кривизнах — кривизнах двумерных подпространств, касательных к многообразию.

Связанные тензоры и величины

Из тензора Римана путём свёртки получаются другие важные геометрические объекты:

• Тензор Риччи: \( R_{ij} = R^k_{ikj} \) — свёртка тензора Римана по первому и третьему индексам. Тензор Риччи описывает изменение объёма при движении вдоль геодезических.
• Скалярная кривизна: \( R = g^{ij} R_{ij} \) — полная свёртка тензора Риччи с метрикой, характеризующая среднюю кривизну в точке.
• Тензор Вейля: бесследовая часть тензора Римана, описывающая конформную кривизну. В размерности \( n \geq 4 \) тензор Вейля равен нулю тогда и только тогда, когда многообразие локально конформно-плоское.

Применение в физике

В общей теории относительности тензор кривизны Римана играет центральную роль. Уравнения Эйнштейна имеют вид: \[ R_{ij} - \frac{1}{2} R g_{ij} + \Lambda g_{ij} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{ij} \] где \( R_{ij} \) — тензор Риччи, \( R \) — скалярная кривизна, \( \Lambda \) — космологическая постоянная, \( G \) — гравитационная постоянная, \( c \) — скорость света, \( T_{ij} \) — тензор энергии-импульса. Тензор Римана определяет гравитационные приливные силы: разность ускорений между двумя близкими пробными частицами пропорциональна компонентам тензора Римана.

В классической механике тензор Римана используется в теории упругости для описания внутренних напряжений в деформируемых телах. В математике тензор кривизны применяется в дифференциальной геометрии, топологии (например, в теореме Гаусса-Бонне) и теории групп Ли.

Примеры

• Евклидово пространство \( \mathbb{R}^n \) с обычной метрикой: все компоненты тензора Римана равны нулю.
• Сфера \( S^2 \) радиуса \( r \): тензор Римана имеет одну независимую компоненту \( R_{1212} = r^2 \sin^2\theta \), что соответствует постоянной положительной гауссовой кривизне \( K = 1/r^2 \).
• Пространство-время Шварцшильда: описывает гравитационное поле сферически-симметричной массы. Тензор Римана имеет ненулевые компоненты, которые приводят к эффектам гравитационного красного смещения и отклонения света.
• Плоское пространство-время Минковского: тензор Римана равен нулю, что соответствует отсутствию гравитации.

Обобщения и вариации

Тензор кривизны Римана обобщается на многообразия с произвольной связностью (не обязательно метрической), например, в римановой геометрии с кручением (связность с кручением). В комплексной геометрии существует аналог — тензор кривизны Кэлера для кэлеровых многообразий. В псевдоримановой геометрии (пространства с метрикой неопределённой сигнатуры, как в общей теории относительности) тензор Римана определяется аналогично, но метрика не является положительно определённой.

Источники

1. Риман Б. «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854).
2. Кристоффель Э. Б. «О преобразовании однородных дифференциальных форм второго порядка» (1869).
3. Эйнштейн А. «Основы общей теории относительности» (1916).
4. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. «Современная геометрия: методы и приложения» (М.: Наука, 1979).
5. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. «Гравитация» (М.: Мир, 1977).
6. Хокинг С., Эллис Дж. «Крупномасштабная структура пространства-времени» (М.: Мир, 1977).