Тензорное произведение модулей

Тензорное произведение модулей — это билинейная операция над модулями над одним и тем же кольцом, результатом которой является новый модуль, универсальный относительно билинейных отображений. Тензорное произведение позволяет «линеаризовать» многолинейные отображения и является фундаментальным инструментом в гомологической алгебре, алгебраической топологии, алгебраической геометрии и теории представлений.

Определение

Пусть \( R \) — ассоциативное кольцо с единицей, \( M \) — правый \( R \)-модуль, \( N \) — левый \( R \)-модуль. Тензорным произведением \( M \) и \( N \) над \( R \) называется абелева группа \( M \otimes_R N \) вместе с билинейным отображением \( \tau : M \times N \to M \otimes_R N \), обладающая следующим универсальным свойством: для любой абелевой группы \( G \) и любого билинейного отображения \( f : M \times N \to G \) существует единственный гомоморфизм абелевых групп \( \tilde{f} : M \otimes_R N \to G \) такой, что \( \tilde{f} \circ \tau = f \).

Иными словами, тензорное произведение является решением некоторой универсальной задачи: оно «превращает» билинейные отображения в линейные.

Конструкция

Тензорное произведение конструируется как фактормодуль свободной абелевой группы, порождённой всеми формальными символами \( m \otimes n \) (где \( m \in M, n \in N \)), по подгруппе, порождённой следующими соотношениями:

1. \( (m_1 + m_2) \otimes n = m_1 \otimes n + m_2 \otimes n \);
2. \( m \otimes (n_1 + n_2) = m \otimes n_1 + m \otimes n_2 \);
3. \( m r \otimes n = m \otimes r n \) для всех \( r \in R \).

Класс эквивалентности элемента \( m \otimes n \) в факторгруппе обозначается тем же символом \( m \otimes n \). Эта конструкция гарантирует существование тензорного произведения для любых модулей.

Свойства

Функториальность

Тензорное произведение является бифунктором: для любых гомоморфизмов \( f: M \to M' \) (правых \( R \)-модулей) и \( g: N \to N' \) (левых \( R \)-модулей) существует единственный гомоморфизм абелевых групп \[ f \otimes g: M \otimes_R N \to M' \otimes_R N', \] определённый на образующих как \( (f \otimes g)(m \otimes n) = f(m) \otimes g(n) \). Это отображение является билинейным и согласовано с композицией.

Ассоциативность

Для модулей \( M, N, P \) над кольцом \( R \) существуют естественные изоморфизмы: \[ (M \otimes_R N) \otimes_R P \cong M \otimes_R (N \otimes_R P) \cong M \otimes_R N \otimes_R P. \] Это позволяет рассматривать тензорное произведение нескольких модулей без указания порядка.

Коммутативность

В общем случае тензорное произведение не является коммутативным. Однако для коммутативных колец \( R \) существует канонический изоморфизм \( M \otimes_R N \cong N \otimes_R M \), задаваемый перестановкой сомножителей: \( m \otimes n \mapsto n \otimes m \).

Тензорное произведение с кольцом

Для любого модуля \( M \) над кольцом \( R \) существуют естественные изоморфизмы: \[ M \otimes_R R \cong M, \quad R \otimes_R M \cong M, \] задаваемые отображениями \( m \otimes r \mapsto mr \) и \( r \otimes m \mapsto rm \) соответственно.

Дистрибутивность

Тензорное произведение дистрибутивно относительно прямой суммы: \[ M \otimes_R (N_1 \oplus N_2) \cong (M \otimes_R N_1) \oplus (M \otimes_R N_2), \] \[ (M_1 \oplus M_2) \otimes_R N \cong (M_1 \otimes_R N) \oplus (M_2 \otimes_R N). \]

Точность

Тензорное произведение является точным справа функтором: если последовательность \( 0 \to N' \to N \to N'' \to 0 \) точна, то последовательность \[ M \otimes_R N' \to M \otimes_R N \to M \otimes_R N'' \to 0 \] также точна. Однако левая точность может нарушаться; модули, для которых тензорное произведение сохраняет точность слева, называются плоскими.

Примеры

Тензорное произведение векторных пространств

Если \( R = k \) — поле, то \( k \)-модули — это векторные пространства. Тензорное произведение \( V \otimes_k W \) является векторным пространством размерности \( \dim V \cdot \dim W \). Базисом служат всевозможные тензоры \( e_i \otimes f_j \), где \( \{e_i\} \) — базис \( V \), \( \{f_j\} \) — базис \( W \).

Тензорное произведение абелевых групп

Абелевы группы являются модулями над кольцом целых чисел \( \mathbb{Z} \). Тензорное произведение \( \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) изоморфно \( \mathbb{Z}/\gcd(m,n)\mathbb{Z} \). Например, \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \cong 0 \), так как \( \gcd(2,3)=1 \).

Тензорное произведение алгебр

Если \( A \) и \( B \) — алгебры над коммутативным кольцом \( R \), то их тензорное произведение \( A \otimes_R B \) также является \( R \)-алгеброй с умножением, заданным на образующих как \( (a_1 \otimes b_1)(a_2 \otimes b_2) = a_1 a_2 \otimes b_1 b_2 \). Это используется, например, при построении тензорных произведений полей и алгебр Ли.

Применение

Гомологическая алгебра

Тензорное произведение является основой для определения функтора Tor, который измеряет «неплоскость» модулей. Точная последовательность, связанная с тензорным произведением, используется для вычисления гомологий.

Алгебраическая топология

В теории гомологий тензорное произведение применяется для построения гомологий произведения пространств (теорема Кюннета). Также оно используется в определении когомологий с коэффициентами в пучках.

Алгебраическая геометрия

Тензорное произведение модулей над коммутативным кольцом соответствует операции взятия расслоенного произведения аффинных схем. В частности, для аффинных схем \( \operatorname{Spec} A \) и \( \operatorname{Spec} B \) их произведение задаётся как \( \operatorname{Spec} (A \otimes_R B) \).

Теория представлений

Тензорное произведение представлений группы или алгебры Ли позволяет строить новые представления из уже известных. Например, тензорное произведение неприводимых представлений группы \( SU(2) \) разлагается в прямую сумму неприводимых представлений (правило Клебша — Гордана).

Связанные понятия

Плоский модуль

Модуль \( M \) называется плоским, если функтор \( M \otimes_R - \) точен (сохраняет точные последовательности). Плоские модули играют важную роль в гомологической алгебре и алгебраической геометрии.

Тензорная алгебра

Тензорная алгебра \( T(M) \) модуля \( M \) — это прямая сумма всех тензорных степеней \( M^{\otimes n} \) с умножением, заданным тензорным произведением. Она является свободной ассоциативной алгеброй на \( M \).

Симметрическое и внешнее произведения

Симметрическое произведение \( S(M) \) и внешнее произведение \( \Lambda(M) \) получаются из тензорной алгебры факторизацией по соотношениям симметрии или антисимметрии соответственно. Они используются в алгебре и дифференциальной геометрии.

Источники

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Вейль А. Основы теории чисел. — М.: Мир, 1972.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966.
• Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах. — М.: МЦНМО, 2007.