Теорема Артина — Шрайера

Теорема Артина — Шрайера — это фундаментальный результат в теории полей, разделе общей алгебры, устанавливающий критерий, при котором поле может быть упорядочено. Теорема была доказана немецкими математиками Эмилем Артином и Отто Шрайером в 1926 году и является центральным элементом теории вещественных полей. Она описывает связь между формально вещественными полями, упорядоченными полями и вещественно замкнутыми полями, а также даёт способ характеризации полей, допускающих хотя бы один линейный порядок, совместимый с операциями сложения и умножения.

История

До работы Артина и Шрайера в начале XX века существовала проблема описания полей, которые можно упорядочить. В 1910-х годах Давид Гильберт и другие математики активно изучали аксиоматику вещественных чисел. Однако чёткого алгебраического критерия упорядочиваемости не существовало. В 1926 году Эмиль Артин и Отто Шрайер опубликовали совместную работу «Algebraische Konstruktion reeller Körper» (Алгебраическая конструкция вещественных полей), в которой сформулировали и доказали теорему. Эта работа заложила основы теории вещественно замкнутых полей и стала важным шагом в развитии алгебраической геометрии и теории квадратичных форм.

Формулировка

Теорема Артина — Шрайера утверждает, что для любого поля \( K \) следующие условия эквивалентны:

1. \( K \) является формально вещественным полем, то есть \(-1\) не может быть представлена в виде суммы квадратов элементов поля (в частности, \( -1 \neq \sum_{i=1}^n a_i^2 \) для любых \( a_i \in K \)).
2. Поле \( K \) допускает хотя бы один линейный порядок, то есть существует такое отношение \( < \), что:

• для любых \( a, b \in K \) выполняется ровно одно из трёх: \( a < b \), \( a = b \) или \( a > b \);
• если \( a < b \), то \( a + c < b + c \) для любого \( c \in K \);
• если \( 0 < a \) и \( 0 < b \), то \( 0 < a b \).

1. Существует такое вещественно замкнутое расширение поля \( K \), то есть поле \( L \), содержащее \( K \), которое само является вещественно замкнутым (то есть упорядочено, и любой положительный элемент имеет квадратный корень, а любой многочлен нечётной степени имеет корень).

Более того, если \( K \) формально вещественно, то оно может быть вложено в некоторое вещественно замкнутое поле, и все возможные порядки на \( K \) соответствуют вложениям в вещественно замкнутые поля.

Ключевые понятия

Формально вещественное поле

Поле \( K \) называется формально вещественным, если \(-1\) не является суммой квадратов элементов из \( K \). Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы в \( K \) можно было ввести отношение порядка, совместимое с арифметическими операциями. Например, поле рациональных чисел \( \mathbb{Q} \) и поле вещественных чисел \( \mathbb{R} \) формально вещественны, а поле комплексных чисел \( \mathbb{C} \) — нет, так как \(-1 = i^2\).

Упорядоченное поле

Упорядоченное поле — это поле, на котором задан линейный порядок, удовлетворяющий аксиомам совместимости со сложением и умножением. Теорема Артина — Шрайера показывает, что существование такого порядка эквивалентно формальной вещественности.

Вещественно замкнутое поле

Вещественно замкнутое поле — это упорядоченное поле, в котором любой положительный элемент имеет квадратный корень, а любой многочлен нечётной степени с коэффициентами из поля имеет хотя бы один корень. Примером является поле вещественных чисел \( \mathbb{R} \). Теорема утверждает, что любое формально вещественное поле можно расширить до вещественно замкнутого, причём такое расширение единственно с точностью до изоморфизма, сохраняющего порядок.

Следствия и приложения

Критерий упорядочиваемости

Теорема даёт простой алгебраический критерий: поле можно упорядочить тогда и только тогда, когда \(-1\) не является суммой квадратов. Это позволяет, например, легко проверить, что поле \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) упорядочиваемо (так как \(-1\) не является суммой квадратов в этом поле), а поле \( \mathbb{Q}(i) \) — нет.

Теория квадратичных форм

Результаты Артина и Шрайера легли в основу теории квадратичных форм над произвольными полями. В частности, они позволили сформулировать и доказать теорему о суммах квадратов: если в поле \(-1\) не является суммой квадратов, то любая сумма квадратов может быть представлена как квадрат некоторого элемента из расширения.

Алгебраическая геометрия

Теорема используется при изучении вещественных алгебраических многообразий. Она позволяет переносить методы, разработанные для вещественных чисел, на поля, не являющиеся архимедовыми, например, на поля рациональных функций.

Теория моделей

В теории моделей теорема Артина — Шрайера является ключевым результатом для изучения теории вещественно замкнутых полей. Она показывает, что класс вещественно замкнутых полей является элементарным классом, то есть может быть описан аксиомами первого порядка.

Примеры

• Поле рациональных чисел \( \mathbb{Q} \) — формально вещественно, допускает стандартный порядок. Его вещественно замкнутое расширение — поле вещественных чисел \( \mathbb{R} \).
• Поле вещественных чисел \( \mathbb{R} \) — вещественно замкнуто, порядок единственен.
• Поле \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) — формально вещественно, может быть упорядочено двумя способами (в зависимости от того, считать ли \( \sqrt{2} \) положительным или отрицательным).
• Поле комплексных чисел \( \mathbb{C} \) — не является формально вещественным, так как \(-1 = i^2\). Следовательно, \( \mathbb{C} \) не может быть упорядочено.
• Поле рациональных функций \( \mathbb{R}(x) \) — формально вещественно, но не является архимедовым. Оно может быть упорядочено, например, считая, что \( x \) больше любого вещественного числа.

Критика и ограничения

Теорема Артина — Шрайера даёт чисто алгебраический критерий, но не предоставляет конструктивного способа построения порядка на поле. В общем случае порядок может быть не единственным, и его выбор требует применения аксиомы выбора (через лемму Цорна). Кроме того, теорема не распространяется на поля характеристики \( p > 0 \), так как в таких полях понятие порядка теряет смысл из-за наличия элементов конечного порядка по сложению.

Интересные факты

• Работа Артина и Шрайера была опубликована в 1926 году в журнале «Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg».
• Отто Шрайер, соавтор теоремы, умер в 1929 году в возрасте 28 лет от последствий диабета. Его вклад в алгебру, несмотря на короткую жизнь, был значительным.
• Теорема Артина — Шрайера является частным случаем более общей теории упорядоченных полей, развитой впоследствии Александром Гротендиком и другими математиками.

Источники

• Артин Э., Шрайер О. «Algebraische Konstruktion reeller Körper» (1926).
• Ленг С. «Алгебра» (перевод с английского, 1968).
• Бурбаки Н. «Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы» (1964).
• Ван дер Варден Б. Л. «Алгебра» (1976).