Эмиль Артин

Эмиль Артин — австрийский и немецкий математик, один из крупнейших алгебраистов XX века. Известен работами в области теории чисел, алгебраической геометрии, теории колец и теории групп. Внёс фундаментальный вклад в теорию полей классов, теорию кос, теорию L-функций и теорию представлений. Его имя носят многие математические понятия: кольцо Артина, модуль Артина, L-функция Артина, теорема Артина — Веддербёрна, теорема Артина — Шрайера, гипотеза Артина и другие.

Биография

Ранние годы и образование

Эмиль Артин родился 3 марта 1898 года в Вене, Австро-Венгрия, в семье торговца произведениями искусства. После смерти отца в 1906 году семья переехала в город Райхенберг (ныне Либерец, Чехия). В 1916 году Артин поступил в Венский университет, где изучал математику, физику и химию. В 1918 году, после окончания Первой мировой войны, он продолжил обучение в Лейпцигском университете, где в 1921 году защитил докторскую диссертацию под руководством Густава Герглотца. Тема диссертации была посвящена квадратичным формам.

Карьера в Германии

После защиты диссертации Артин работал в Гамбургском университете, где в 1923 году получил звание профессора. В Гамбурге он создал одну из ведущих математических школ Европы. В 1925 году совместно с Отто Шрайером (нем. Otto Schreier) опубликовал фундаментальную работу по теории полей, в которой ввёл понятие формально вещественного поля и доказал теорему Артина — Шрайера. В 1927 году Артин сформулировал гипотезу о L-функциях, которая позже стала известна как гипотеза Артина.

В 1937 году, после прихода к власти нацистов, Артин, чья жена была еврейкой, был вынужден покинуть Германию. Он эмигрировал в США.

Работа в США

В 1937 году Артин получил должность профессора в Принстонском университете, а затем в 1938 году перешёл в Университет Индианы в Блумингтоне. В 1946 году он стал профессором Принстонского университета, где работал до выхода на пенсию в 1958 году. В США Артин продолжил активную научную деятельность, опубликовав ряд важных работ по теории колец, теории групп и алгебраической геометрии. Он воспитал многих учеников, среди которых были такие известные математики, как Серж Ленг (фр. Serge Lang) и Джон Тейт (англ. John Tate).

Возвращение в Европу и последние годы

В 1958 году Артин вернулся в Европу и поселился в Гамбурге, где получил почётную профессуру. Он продолжал работать до конца жизни. Эмиль Артин скончался 20 декабря 1962 года в Гамбурге.

Научные достижения

Теория полей классов

Артин внёс решающий вклад в развитие теории полей классов — раздела алгебраической теории чисел, изучающего абелевы расширения полей. В 1927 году он доказал закон взаимности Артина, который обобщает классический закон квадратичной взаимности Гаусса на произвольные абелевы расширения. Этот результат стал одним из центральных в теории полей классов и позволил сформулировать её в строгой алгебраической форме.

L-функции Артина

В 1923 году Артин ввёл понятие L-функции, связанной с представлениями группы Галуа числового поля. Эти функции, получившие название L-функций Артина, являются обобщением L-функций Дирихле и дзета-функции Дедекинда. Артин выдвинул гипотезу, что L-функции, соответствующие неприводимым нетривиальным представлениям, являются целыми функциями (гипотеза Артина). Эта гипотеза остаётся недоказанной в общем случае, но её доказательство для одномерных представлений следует из теории полей классов, а для двумерных — из результатов Ленглендса и Таннелла.

Теория кос

В 1925 году Артин опубликовал работу, в которой ввёл понятие группы кос (англ. braid group). Он определил её как фундаментальную группу пространства конфигураций точек на плоскости и дал её представление образующими и соотношениями (представление Артина). Группы кос нашли широкое применение в топологии, теории узлов, квантовой теории поля и других областях математики.

Теория колец и модулей

Артин внёс фундаментальный вклад в теорию колец и модулей. В 1927 году он совместно с Эмми Нётер (нем. Emmy Noether) заложил основы теории колец Артина — колец, удовлетворяющих условию обрыва убывающих цепей левых идеалов. Для таких колец была доказана теорема Артина — Веддербёрна, описывающая структуру полупростых колец. Артин также ввёл понятие модуля Артина — модуля, удовлетворяющего условию обрыва убывающих цепей подмодулей.

Теория формально вещественных полей

В 1926 году совместно с Отто Шрайером Артин разработал теорию формально вещественных полей. Они ввели понятие формально вещественного поля как поля, в котором -1 не является суммой квадратов, и доказали, что такое поле можно упорядочить. Этот результат лёг в основу теории упорядоченных полей и нашёл применение в алгебраической геометрии и теории квадратичных форм.

Гипотеза Артина

Помимо гипотезы о L-функциях, Артин выдвинул гипотезу о том, что для любого целого числа a, не являющегося полным квадратом, существует бесконечно много простых чисел p, по модулю которых a является первообразным корнем. Эта гипотеза, известная как гипотеза Артина о первообразных корнях, остаётся недоказанной, но получены её частичные результаты, в частности, доказательство при условии справедливости расширенной гипотезы Римана.

Основные труды

• «Algebraic Numbers and Algebraic Functions» (1967) — монография по алгебраической теории чисел и алгебраическим функциям, основанная на лекциях Артина.
• «Geometric Algebra» (1957) — книга по геометрической алгебре, в которой Артин изложил теорию линейных групп и их связь с геометрией.
• «Collected Papers» (1965) — собрание избранных работ Артина, опубликованное посмертно.

Признание и наследие

Эмиль Артин был членом многих академий наук, включая Национальную академию наук США (1943) и Академию наук СССР (1966, избран посмертно). В 1958 году он был награждён медалью Лобачевского за выдающиеся достижения в области геометрии. В честь Артина названы:

• Кольцо Артина — кольцо, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей левых идеалов.
• Модуль Артина — модуль, удовлетворяющий условию обрыва убывающих цепей подмодулей.
• L-функция Артина — L-функция, связанная с представлениями группы Галуа.
• Гипотеза Артина — гипотеза о целости L-функций.
• Гипотеза Артина о первообразных корнях — гипотеза о бесконечности простых чисел, для которых данное число является первообразным корнем.
• Теорема Артина — Веддербёрна — теорема о структуре полупростых колец.
• Теорема Артина — Шрайера — теорема о существовании упорядочения в формально вещественных полях.
• Группа кос Артина — группа, определённая представлением образующими и соотношениями.

Артин был не только выдающимся учёным, но и блестящим педагогом. Его лекции отличались ясностью и глубиной, а его ученики внесли значительный вклад в развитие математики.

Источники

• Эмиль Артин // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988.
• Artin, Emil // Dictionary of Scientific Biography. — New York: Charles Scribner's Sons, 1970.
• Lang, S. Emil Artin (1898–1962) // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1963. — Vol. 69. — P. 11–13.
• Tate, J. Emil Artin // Biographical Memoirs of the National Academy of Sciences. — 1968. — Vol. 39. — P. 1–19.