Теорема сложения вероятностей¶

Теорема сложения вероятностей — одно из основных утверждений теории вероятностей, устанавливающее правило вычисления вероятности объединения двух или нескольких событий через вероятности самих событий и их совместных исходов. Вместе с теоремой умножения вероятностей она образует базовый аппарат для расчёта вероятностей сложных событий, выражаемых через элементарные.

¶Формулировка

Пусть задано вероятностное пространство с событиями A и B. Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из них (то есть их объединение A ∪ B), вычисляется по формуле:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B),

где P(A ∩ B) — вероятность одновременного наступления обоих событий (их пересечения). Вычитаемое слагаемое необходимо потому, что при простом суммировании P(A) + P(B) исходы, входящие в оба события, учитываются дважды.

Для несовместных событий, которые не могут произойти одновременно (A ∩ B = ∅), формула упрощается:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Это частный случай часто называют теоремой сложения для несовместных событий. Она непосредственно вытекает из аксиомы аддитивности вероятности: вероятность объединения попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

¶Обобщение на несколько событий

Для n событий A₁, A₂, …, Aₙ справедлива формула включений-исключений:

P(A₁ ∪ … ∪ Aₙ) = ΣP(Aᵢ) − ΣP(Aᵢ ∩ Aⱼ) + ΣP(Aᵢ ∩ Aⱼ ∩ Aₖ) − … + (−1)ⁿ⁻¹P(A₁ ∩ … ∩ Aₙ).

Знаки слагаемых чередуются: сначала суммируются вероятности отдельных событий, затем вычитаются вероятности всех парных пересечений, прибавляются вероятности тройных пересечений и так далее. Формула позволяет корректно учесть все возможные наложения событий.

¶Следствия

Из теоремы сложения вытекают важные соотношения.

Вероятность противоположного события: P(Ā) = 1 − P(A), поскольку A и Ā несовместны и в объединении дают достоверное событие.
Вероятность объединения полной группы несовместных событий равна единице.
Для двух событий вероятность наступления ровно одного из них равна P(A) + P(B) − 2P(A ∩ B).

¶Условная вероятность и связь с умножением

Теорема сложения часто применяется совместно с теоремой умножения, согласно которой P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A), где P(B|A) — условная вероятность события B при условии, что произошло A. Для независимых событий P(A ∩ B) = P(A) · P(B), и тогда формула сложения принимает вид:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) · P(B).

Это соотношение удобно для расчёта вероятности «хотя бы одного» события из нескольких независимых.

¶Примеры

Пример 1. Из колоды в 36 карт наугад извлекают одну. Событие A — выпала дама (4 карты), событие B — выпала карта пиковой масти (9 карт). Пересечение — пиковая дама (1 карта). Тогда P(A ∪ B) = 4/36 + 9/36 − 1/36 = 12/36 = 1/3.

Пример 2. Два стрелка независимо стреляют по мишени с вероятностями попадания 0,8 и 0,7. Вероятность хотя бы одного попадания: 0,8 + 0,7 − 0,8 · 0,7 = 0,94.

Пример 3. Бросают игральную кость. Событие A — выпало чётное число (2, 4, 6), событие B — выпало число, кратное трём (3, 6). События совместны: пересечение — выпадение шестёрки. P(A ∪ B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3.

¶Значение и применение

Теорема сложения лежит в основе расчёта надёжности технических систем, где вероятность безотказной работы узла выражается через вероятности отказов отдельных элементов. Она применяется в статистике, теории массового обслуживания, актуарных расчётах, в анализе рисков и в задачах контроля качества. Совместно с формулой полной вероятности и формулой Байеса теорема сложения образует фундамент элементарного курса теории вероятностей, изучаемого в средней школе и вузах.

¶История

Правила сложения вероятностей для несовместных событий формулировались ещё в ранних работах по теории азартных игр XVII века — у Блеза Паскаля и Пьера Ферма, а затем систематически изложены Якобом Бернулли в трактате «Искусство предположений» (1713). Общая формула включений-исключений для произвольного числа событий была развита в XVIII–XIX веках и связана с именами Абрахама де Муавра и Симеона Дени Пуассона. В современной аксиоматике Андрея Колмогорова (1933) свойство аддитивности для несовместных событий принято в качестве одной из аксиом, из которой теорема сложения выводится как следствие.

¶Типичные ошибки

Распространённая ошибка — применение упрощённой формулы P(A) + P(B) к совместным событиям, что завышает результат. Другая ошибка — механическое сложение вероятностей событий, не образующих полную группу, либо игнорирование зависимости событий при подстановке P(A ∩ B). Корректное решение требует предварительной проверки совместности и независимости событий.

Источники: Гнеденко Б. В. «Курс теории вероятностей»; Колмогоров А. Н. «Основные понятия теории вероятностей»; Вентцель Е. С. «Теория вероятностей»; Феллер В. «Введение в теорию вероятностей и её приложения».