Теория меры Лебега в математике¶

Мера Лебега — это математическое понятие, обобщающее интуитивные представления о длине, площади и объёме на более широкий класс множеств, чем это допускает классическая мера Жордана. Мера Лебега является основой теории меры и интеграла Лебега, которые играют фундаментальную роль в современном анализе, теории вероятностей и функциональном анализе.

¶Определение

Формально мера Лебега определяется на σ-алгебре измеримых множеств в евклидовом пространстве \(\mathbb{R}^n\). Для одномерного случая (\(n=1\)) она сопоставляет каждому измеримому множеству \(E \subset \mathbb{R}\) неотрицательное число \(\lambda(E)\), которое может быть равно \(+\infty\).

Стандартное построение меры Лебега начинается с внешней меры. Для произвольного множества \(A \subset \mathbb{R}\) внешняя мера \(\lambda^(A)\) определяется как нижняя грань сумм длин интервалов, покрывающих \(A\): \[ \lambda^(A) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^{\infty} (b_k - a_k) : A \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} (a_k, b_k) \right\}. \] Множество \(E\) называется измеримым по Лебегу, если для любого множества \(A \subset \mathbb{R}\) выполняется условие Каратеодори: \[ \lambda^(A) = \lambda^(A \cap E) + \lambda^*(A \cap E^c). \] Ограничение внешней меры на класс измеримых множеств и есть мера Лебега \(\lambda\).

¶Свойства

Мера Лебега обладает рядом важных свойств, отличающих её от более простых мер:

• Счётная аддитивность: если \(\{E_k\}_{k=1}^{\infty}\) — попарно непересекающиеся измеримые множества, то \(\lambda\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \lambda(E_k)\).
• Полнота: любое подмножество множества меры нуль измеримо и имеет меру нуль.
• Инвариантность относительно движений: мера Лебега не меняется при параллельных переносах, вращениях и отражениях множества.
• Регулярность: мера любого измеримого множества может быть приближена снаружи открытыми множествами и изнутри компактными.

Важным следствием полноты является существование неизмеримых множеств. Их существование было доказано Джузеппе Витали в 1905 году с использованием аксиомы выбора. Множество Витали — это классический пример множества, не измеримого по Лебегу.

¶Интеграл Лебега

Конструкция интеграла Лебега тесно связана с мерой Лебега. Для простых (ступенчатых) функций интеграл определяется как сумма произведений значений функции на меры множеств уровня. Затем интеграл распространяется на более широкий класс функций через предельный переход.

Интеграл Лебега обобщает интеграл Римана: любая функция, интегрируемая по Риману на отрезке, интегрируема и по Лебегу, причём значения интегралов совпадают. Однако класс функций, интегрируемых по Лебегу, существенно шире. Например, функция Дирихле (индикатор множества рациональных чисел) не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу, и её интеграл равен нулю, поскольку множество рациональных чисел имеет меру нуль.

¶Применение

Мера Лебега является стандартным инструментом в различных областях математики:

• Теория вероятностей: вероятностные меры на \(\mathbb{R}^n\) часто рассматриваются как абсолютно непрерывные относительно меры Лебега, что позволяет использовать плотности распределения.
• Функциональный анализ: пространства \(L^p\) строятся на основе интегрируемости по Лебегу и являются основой теории гильбертовых и банаховых пространств.
• Уравнения в частных производных: обобщённые решения (в смысле Соболева) определяются через интеграл Лебега.
• Геометрическая теория меры: мера Лебега используется для определения площади поверхностей и объёмов тел в многомерных пространствах.

¶Ограничения и обобщения

Несмотря на широкую применимость, мера Лебега имеет ограничения. Она определена только на евклидовых пространствах и не переносится напрямую на бесконечномерные пространства (например, гильбертовы), где не существует аналога меры Лебега, инвариантной относительно сдвигов. Для таких случаев разработаны обобщения, такие как меры Гаусса, меры Винера и другие конструкции.

В бесконечномерных пространствах вместо меры Лебега часто используют понятие «цилиндрических мер» или меры, обладающие лишь частичной трансляционной инвариантностью. Это связано с теоремой, доказанной Робертом Кэмероном и Уильямом Мартином, о том, что в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве не существует σ-аддитивной меры, инвариантной относительно всех сдвигов и конечной на ограниченных множествах.

¶Источники

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. «Элементы теории функций и функционального анализа».
• Натансон И. П. «Теория функций вещественной переменной».
• Рудин У. «Основы математического анализа».
• Халмош П. «Теория меры».