Тест Энгла — Грейнджера

Тест Энгла — Грейнджера — это статистическая процедура проверки гипотезы о наличии коинтеграции между двумя или более нестационарными временными рядами. Разработан экономистами Робертом Энглом и Клайвом Грейнджером в 1987 году. Тест является одним из фундаментальных инструментов эконометрики, позволяющим выявить долгосрочную равновесную связь между переменными, которые по отдельности демонстрируют стохастический тренд (например, случайное блуждание).

История

Коинтеграция как концепция была введена в экономическую науку в 1980-х годах. До этого стандартные регрессионные методы, применяемые к нестационарным рядам, часто приводили к ложной регрессии — ситуации, когда высокие значения статистик (например, R²) и t-статистик не отражают реальной взаимосвязи, а вызваны общим временным трендом. В 1987 году Роберт Энгл и Клайв Грейнджер опубликовали статью «Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing», в которой предложили двухшаговую процедуру тестирования коинтеграции. За эти работы Энгл и Грейнджер получили Нобелевскую премию по экономике в 2003 году «за разработку методов анализа временных рядов с общими трендами (коинтеграции)».

Суть теста

Тест Энгла — Грейнджера основан на идее, что если два или более нестационарных ряда интегрированы одного порядка (например, I(1) — то есть стационарны после взятия первой разности), то их линейная комбинация может оказаться стационарной (I(0)). В этом случае ряды считаются коинтегрированными.

Процедура теста включает два этапа:

1. Оценка коинтеграционного уравнения. Строится регрессия одной переменной на другую (или на несколько других) с помощью обычного метода наименьших квадратов (МНК). Например, для двух рядов \( Y_t \) и \( X_t \) модель имеет вид:

\[ Y_t = \alpha + \beta X_t + \varepsilon_t \] где \( \varepsilon_t \) — остатки регрессии.

1. Проверка стационарности остатков. Полученные остатки \( \hat{\varepsilon}_t \) проверяются на наличие единичного корня с помощью расширенного теста Дики — Фуллера (ADF-тест) или теста Филлипса — Перрона. Если остатки оказываются стационарными, то гипотеза об отсутствии коинтеграции (нулевая гипотеза) отвергается, и делается вывод о коинтеграции рядов.

Критические значения для теста Энгла — Грейнджера отличаются от стандартных таблиц Дики — Фуллера, так как остатки получены из оценённой регрессии, а не из исходных данных. Специальные таблицы критических значений были рассчитаны Маккинноном (1991, 2010).

Условия применения

Тест Энгла — Грейнджера применим при соблюдении следующих условий:

• Ряды должны быть нестационарными и интегрированными одного порядка (обычно I(1)). Перед проведением теста необходимо проверить порядок интеграции каждого ряда с помощью тестов на единичный корень (например, ADF-тест, KPSS-тест).
• Тест предполагает, что коинтеграционное соотношение является линейным и единственным. Для систем с более чем двумя переменными возможна ситуация множественной коинтеграции, когда существует несколько линейно независимых коинтеграционных векторов. В этом случае тест Энгла — Грейнджера может быть неэффективен.
• Оценка коинтеграционного уравнения методом МНК даёт состоятельные оценки параметров, даже если регрессоры эндогенны, при условии, что ошибки стационарны. Однако в малых выборках смещение может быть значительным.

Ограничения и критика

Несмотря на широкое применение, тест Энгла — Грейнджера имеет ряд недостатков:

• Чувствительность к выбору зависимой переменной. Результат теста может зависеть от того, какая переменная выбрана в качестве зависимой в первом этапе. В случае двух переменных возможны два варианта регрессии, и они могут дать разные выводы о коинтеграции.
• Низкая мощность в малых выборках. Тест может не выявить коинтеграцию, если истинное соотношение существует, но выборка коротка.
• Ограничение на количество коинтеграционных векторов. Для систем с тремя и более переменными тест позволяет обнаружить не более одного коинтеграционного соотношения, что делает его менее предпочтительным по сравнению с методом Йохансена.
• Асимптотическая обоснованность. Критические значения теста получены для больших выборок, и их использование в малых выборках может приводить к ошибкам.

Альтернативные методы

В современной эконометрике наряду с тестом Энгла — Грейнджера используются и другие подходы:

• Тест Йохансена (или процедура Йохансена) — метод, основанный на модели векторной авторегрессии (VAR) и оценке максимального правдоподобия. Позволяет выявить все возможные коинтеграционные векторы в системе из нескольких переменных и не требует выбора зависимой переменной.
• Тест Филлипса — Оулиариса (Phillips-Ouliaris) — также основан на проверке стационарности остатков, но использует другие критические значения.
• Тест Парка (Park's test) — применяется для проверки коинтеграции в присутствии структурных сдвигов.

Применение

Тест Энгла — Грейнджера широко используется в макроэкономике, финансах и других областях, где анализируются долгосрочные взаимосвязи временных рядов. Примеры включают:

• Анализ связи между потреблением и доходом (проверка гипотезы постоянного дохода).
• Исследование паритета покупательной способности (связь между обменными курсами и ценами).
• Моделирование взаимосвязи между процентными ставками разных сроков (теория временной структуры).
• Анализ связи между ценами на акции и дивидендами.

Интересные факты

• Роберт Энгл и Клайв Грейнджер впервые представили концепцию коинтеграции на семинаре в 1983 году, а их основополагающая статья была опубликована в 1987 году.
• Тест Энгла — Грейнджера часто называют «двухшаговым методом» или «двухшаговой процедурой Энгла — Грейнджера».
• В программных пакетах (например, EViews, R, Stata, Python) тест реализован в виде стандартных функций, что упрощает его применение в прикладных исследованиях.

Источники

• Engle, R. F., & Granger, C. W. J. (1987). Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing. Econometrica, 55(2), 251–276.
• MacKinnon, J. G. (1991). Critical Values for Cointegration Tests. In R. F. Engle & C. W. J. Granger (Eds.), Long-Run Economic Relationships: Readings in Cointegration (pp. 267–276). Oxford University Press.
• MacKinnon, J. G. (2010). Critical Values for Cointegration Tests. Queen's Economics Department Working Paper, No. 1227.
• Hamilton, J. D. (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press.
• Enders, W. (2014). Applied Econometric Time Series (4th ed.). Wiley.