Тест Йохансена¶

Тест Йохансена — это статистическая процедура, используемая в эконометрике и анализе временных рядов для проверки наличия коинтеграции между двумя или более нестационарными временными рядами. Разработан датским статистиком Сёреном Йохансеном в конце 1980-х — начале 1990-х годов. В отличие от более раннего метода Энгла — Грейнджера, тест Йохансена позволяет выявить все возможные коинтеграционные соотношения в многомерной системе (векторе временных рядов) и оценить их параметры в рамках единой процедуры, основанной на методологии векторных авторегрессий (VAR).

¶История и предпосылки

Проблема ложной регрессии, возникающей при регрессионном анализе нестационарных временных рядов, была осознана в 1970-х годах. В 1987 году Клайв Грейнджер и Роберт Энгл предложили двухшаговый тест на коинтеграцию, который, однако, имел ограничения: он предполагал наличие единственного коинтеграционного вектора, был чувствителен к выбору нормируемой переменной и не давал полной картины в системах с более чем двумя рядами.

В 1988 и 1991 годах Сёрен Йохансен опубликовал серию работ, в которых предложил метод, основанный на оценке модели векторной авторегрессии (VAR) и анализе ранга матрицы коэффициентов долгосрочной связи. Этот подход, известный как метод максимального правдоподобия Йохансена, стал стандартным инструментом для анализа коинтеграции в многомерных системах.

¶Теоретическая основа

Тест Йохансена базируется на представлении VAR-модели порядка \( p \) для \( k \)-мерного временного ряда \( y_t \):

\[ y_t = A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + \dots + A_p y_{t-p} + \varepsilon_t \]

Эта модель может быть переписана в форме коррекции ошибок (Vector Error Correction Model, VECM):

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \Gamma_1 \Delta y_{t-1} + \Gamma_2 \Delta y_{t-2} + \dots + \Gamma_{p-1} \Delta y_{t-p+1} + \varepsilon_t \]

где:

• \(\Delta\) — оператор первой разности;
• \(\Pi = \sum_{i=1}^p A_i - I_k\) — матрица долгосрочных связей (размерности \(k \times k\));
• \(\Gamma_i\) — матрицы краткосрочной динамики.

Ключевым моментом является ранг матрицы \(\Pi\) (обозначается \(r\)). Он определяет количество линейно независимых коинтеграционных соотношений:

• Если \(r = 0\) — коинтеграция отсутствует, ряды не связаны в долгосрочной перспективе.
• Если \(r = k\) — все ряды стационарны (коинтеграция тривиальна).
• Если \(0 < r < k\) — существует \(r\) коинтеграционных векторов.

Тест Йохансена проверяет гипотезы о ранге матрицы \(\Pi\) с помощью двух статистик, основанных на собственных значениях (\(\lambda_i\)) этой матрицы.

¶Статистики теста

¶Тест следа (Trace test)

Проверяет гипотезу о том, что число коинтеграционных векторов меньше или равно \(r\), против альтернативы, что их больше \(r\).

\[ \lambda_{trace}(r) = -T \sum_{i=r+1}^k \ln(1 - \hat{\lambda}_i) \]

где \(T\) — количество наблюдений, \(\hat{\lambda}_i\) — оцененные собственные значения матрицы \(\Pi\).

¶Тест максимального собственного значения (Maximum eigenvalue test)

Проверяет гипотезу о том, что число коинтеграционных векторов равно \(r\), против альтернативы, что их равно \(r+1\).

\[ \lambda_{max}(r, r+1) = -T \ln(1 - \hat{\lambda}_{r+1}) ]

Обе статистики имеют асимптотическое распределение, отличное от стандартного, и для них рассчитаны критические значения (например, таблицы Маккиннона-Хауга-Михелиса).

¶Процедура проведения

1. Проверка стационарности: Все анализируемые ряды должны быть интегрированными одного порядка (обычно I(1)). Проверяется с помощью тестов Дики — Фуллера (ADF) или KPSS.
2. Выбор длины лага в VAR: Определяется оптимальное количество лагов \(p\) с помощью информационных критериев (AIC, BIC, HQ) или тестов на автокорреляцию остатков.
3. Выбор спецификации детерминированных компонентов: Необходимо решить, включать ли в модель константу и/или тренд. Йохансен выделил пять основных моделей:

• Модель 1: без константы и тренда.
• Модель 2: константа в коинтеграционном пространстве.
• Модель 3: константа вне коинтеграционного пространства (линейный тренд в данных отсутствует).
• Модель 4: линейный тренд в коинтеграционном пространстве.
• Модель 5: линейный тренд вне коинтеграционного пространства (квадратичный тренд в данных).

Выбор модели основывается на экономической теории и визуальном анализе графиков рядов.

1. Оценка VECM и вычисление собственных значений: Методом максимального правдоподобия оцениваются параметры модели и вычисляются собственные значения матрицы \(\Pi\).
2. Расчет статистик и сравнение с критическими значениями: Последовательно проверяются гипотезы \(H_0: r=0\), \(H_0: r \le 1\), \(H_0: r \le 2\) и т.д. Если статистика следа (или максимального собственного значения) превышает критическое значение на заданном уровне значимости (обычно 5%), нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной.

¶Пример применения

Типичный пример — анализ взаимосвязи между ценами на нефть, курсом рубля и индексом Мосбиржи. Все три ряда нестационарны. Тест Йохансена позволяет определить, существует ли между ними долгосрочное равновесие (коинтеграция). Если да, то можно построить VECM-модель, которая описывает как долгосрочную связь, так и краткосрочные корректировки к равновесию.

¶Преимущества и недостатки

¶Преимущества

• Многомерность: Позволяет анализировать более двух рядов одновременно.
• Выявление всех векторов: В отличие от метода Энгла-Грейнджера, находит все возможные коинтеграционные соотношения.
• Статистическая обоснованность: Основан на методе максимального правдоподобия, что обеспечивает асимптотическую эффективность оценок.
• Независимость от нормировки: Результаты не зависят от того, какой ряд выбран в качестве зависимой переменной.

¶Недостатки

• Чувствительность к спецификации модели: Результаты сильно зависят от правильного выбора длины лага и модели детерминированных компонентов.
• Чувствительность к выбросам и структурным сдвигам: Наличие резких изменений в данных может исказить результаты. Существуют модификации теста для учета структурных сдвигов (тест Йохансена с разрывами).
• Требовательность к объему выборки: Для надежных результатов требуется достаточно длинный временной ряд (обычно не менее 100 наблюдений).
• Сложность интерпретации: При большом количестве рядов (более 5-6) интерпретация коинтеграционных векторов может стать затруднительной.

¶Критика и альтернативы

Тест Йохансена подвергается критике за низкую мощность в малых выборках и чувствительность к нарушению предположения о нормальности остатков. В качестве альтернатив используются:

• Метод Энгла-Грейнджера: Проще, но применим только для двух рядов.
• Тест Филлипса-Улиариса: Устойчив к некоторым видам структурных сдвигов.
• Тест ARDL (авторегрессионное распределенное лагирование): Работает, даже если ряды интегрированы разных порядков (I(0) и I(1)).

Несмотря на критику, тест Йохансена остается одним из наиболее широко используемых инструментов в макроэкономическом анализе, финансах и других областях, где требуется изучение долгосрочных взаимосвязей между временными рядами.

¶Источники

• Johansen, S. (1988). Statistical analysis of cointegration vectors. Journal of Economic Dynamics and Control, 12(2-3), 231-254.
• Johansen, S. (1991). Estimation and hypothesis testing of cointegration vectors in Gaussian vector autoregressive models. Econometrica, 59(6), 1551-1580.
• Enders, W. (2014). Applied Econometric Time Series (4th ed.). Wiley.
• Brooks, C. (2019). Introductory Econometrics for Finance (4th ed.). Cambridge University Press.
• Маккиннон, Дж. (2010). Критические значения для тестов коинтеграции. В кн.: Handbook of Empirical Economics and Finance. CRC Press.