Точная верхняя грань

Точная верхняя грань (супремум, от лат. supremum — наивысший) — в математике, в частности в теории порядка и математическом анализе, это наименьшая верхняя граница данного подмножества частично упорядоченного множества. Если множество ограничено сверху, то его точная верхняя грань существует не всегда, но в случае её существования она единственна. Понятие является фундаментальным для анализа, топологии и теории меры, лежит в основе определения вещественных чисел, предела последовательности и интеграла.

Определение

Пусть \(X\) — частично упорядоченное множество, а \(A \subset X\) — его подмножество. Элемент \(s \in X\) называется точной верхней гранью (или супремумом) множества \(A\), если он удовлетворяет двум условиям:

1. Верхняя граница: \(s\) является верхней границей множества \(A\), то есть для любого \(a \in A\) выполняется \(a \leqslant s\).
2. Минимальность: для любой другой верхней границы \(b \in X\) (то есть такого \(b\), что \(a \leqslant b\) для всех \(a \in A\)) выполняется \(s \leqslant b\).

Обозначение: \(s = \sup A\) или \(s = \sup_{x \in A} x\). Если \(A\) не ограничено сверху, то говорят, что \(\sup A = +\infty\) (в расширенной числовой прямой). В случае, когда \(s \in A\), супремум совпадает с максимумом множества: \(\sup A = \max A\).

Примеры на числовой прямой

• Для отрезка \([0, 1]\): \(\sup[0, 1] = 1\). Так как \(1 \in [0, 1]\), это также максимум.
• Для интервала \((0, 1)\): \(\sup(0, 1) = 1\). Здесь \(1\) не принадлежит множеству, поэтому максимума не существует, но супремум определён.
• Для множества \(\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \}\): \(\sup = 1\) (достигается при \(n=1\)).
• Для множества \(\{ n \mid n \in \mathbb{N} \}\): \(\sup = +\infty\) (не ограничено сверху).

Свойства

Основные свойства

1. Единственность: Если супремум существует, то он единственен.
2. Связь с инфимумом: Для любого подмножества \(A\) выполняется \(\sup A = -\inf(-A)\), где \(-A = \{-a \mid a \in A\}\).
3. Монотонность: Если \(A \subset B\), то \(\sup A \leqslant \sup B\) (при условии существования).
4. Аддитивность (для вещественных чисел): \(\sup(A + B) = \sup A + \sup B\), где \(A + B = \{a + b \mid a \in A, b \in B\}\).
5. Умножение на скаляр: Для \(\lambda \geqslant 0\): \(\sup(\lambda A) = \lambda \sup A\); для \(\lambda < 0\): \(\sup(\lambda A) = \lambda \inf A\).

Критерий существования

В множестве вещественных чисел \(\mathbb{R}\) с обычным порядком любое непустое ограниченное сверху подмножество имеет точную верхнюю грань. Это свойство называется аксиомой полноты (или непрерывности) вещественных чисел. В рациональных числах \(\mathbb{Q}\) это не выполняется: например, множество \(\{q \in \mathbb{Q} \mid q^2 < 2\}\) ограничено сверху, но его супремум \(\sqrt{2}\) не является рациональным числом.

История

Понятие точной верхней грани в явном виде сформулировано в XIX веке в рамках строгого обоснования математического анализа. Немецкий математик Карл Вейерштрасс (1815—1897) ввёл термин «супремум» и доказал теорему о существовании супремума для ограниченных множеств вещественных чисел. Французский математик Огюстен Луи Коши (1789—1857) использовал эквивалентные идеи при построении теории пределов. В современной форме аксиома полноты была сформулирована Рихардом Дедекиндом (1831—1916) в его работе «Непрерывность и иррациональные числа» (1872).

Применение в математическом анализе

Определение предела последовательности

Число \(L\) называется пределом последовательности \(\{a_n\}\), если для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(N\) такое, что для всех \(n > N\) выполняется \(|a_n - L| < \varepsilon\). Супремум используется для определения верхнего и нижнего пределов:

• Верхний предел: \(\limsup_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \geqslant n} a_k\).
• Нижний предел: \(\liminf_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \inf_{k \geqslant n} a_k\).

Интеграл Римана

При построении интеграла Римана для функции \(f\) на отрезке \([a, b]\) рассматриваются верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний интеграл Дарбу определяется как \(\inf_{P} U(f, P)\), где \(U(f, P)\) — верхняя сумма по разбиению \(P\). Фактически это супремум по всем разбиениям, взятый с обратным знаком.

Функциональный анализ

В банаховых пространствах супремум используется для определения нормы оператора: \(\|T\| = \sup_{\|x\| \leqslant 1} \|Tx\|\). В теории меры — для определения существенной верхней грани измеримой функции.

Связь с другими понятиями

• Максимум — частный случай супремума, когда верхняя грань принадлежит множеству.
• Инфимум (точная нижняя грань) — двойственное понятие: \(\inf A = -\sup(-A)\).
• Верхняя граница — любое число, не меньшее всех элементов множества; супремум — наименьшая из таких границ.
• Предельная точка — не связана напрямую с супремумом, но для монотонных последовательностей супремум может быть пределом.

Примеры в различных структурах

В частично упорядоченных множествах

В решётках (структурах с двумя бинарными операциями) супремум двух элементов \(a\) и \(b\) обозначается \(a \vee b\) и называется объединением (join). Например, в булевой алгебре \(\{0, 1\}\) супремум совпадает с логической операцией ИЛИ.

В топологии

В компактных топологических пространствах непрерывная функция достигает своего супремума (теорема Вейерштрасса). В общем случае супремум может не достигаться, но всегда существует в расширенном смысле.

Критика и обобщения

В конструктивной математике (например, в интуиционизме) аксиома полноты вещественных чисел не принимается, и супремум может быть не определён для некоторых ограниченных множеств. В нестандартном анализе используются гипердействительные числа, где супремум может быть заменён на стандартную часть.

В обобщённых порядковых структурах (например, в полных решётках) супремум существует для любого подмножества, что является основой для теории неподвижных точек (теорема Тарского).

Источники

1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с.
2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — Т. 1. — М.: Высшая школа, 1981. — 687 с.
3. Рудин У. Основы математического анализа. — 2-е изд. — М.: Мир, 1976. — 320 с.
4. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. — М.: Математическое просвещение, 1923. — 28 с.
5. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука, 1968. — 272 с.