U-критерий Манна — Уитни

U-критерий Манна — Уитни (также известный как критерий Манна — Уитни — Уилкоксона, или U-тест) — это непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо количественного или порядкового признака. Он позволяет определить, является ли одна выборка статистически значимо «больше» или «меньше» другой, не требуя нормального распределения данных. Критерий является аналогом параметрического t-критерия Стьюдента для независимых выборок, но применяется в случаях, когда предположения о нормальности распределения нарушены или когда данные представлены в порядковой шкале.

История

Критерий был разработан в 1945—1947 годах. В 1945 году американский статистик Фрэнк Уилкоксон (Frank Wilcoxon) предложил ранговый критерий для сравнения двух независимых выборок, который впоследствии стал известен как критерий Уилкоксона (или W-критерий). Однако в 1947 году американские математики Генри Манн (Henry Mann) и Дональд Уитни (Donald Whitney) независимо друг от друга обобщили и формализовали этот метод, предложив статистику U. В их работе была доказана асимптотическая нормальность распределения статистики U, что позволило использовать критерий для выборок любого размера. В русскоязычной литературе критерий чаще всего называют U-критерием Манна — Уитни, а в англоязычной — Mann-Whitney U test или Mann-Whitney-Wilcoxon (MWW) test.

Суть метода

Критерий основан на ранжировании всех значений двух выборок, объединённых в один общий ряд. Затем подсчитывается количество случаев, когда значение из первой выборки превышает значение из второй выборки (и наоборот). Статистика U представляет собой наименьшее из двух таких количеств. Чем меньше значение U, тем более выражены различия между выборками.

Алгоритм расчёта

1. Объединить все значения двух выборок (объёмом n₁ и n₂) в один массив.
2. Упорядочить значения по возрастанию и присвоить каждому значению ранг (номер места в упорядоченном ряду). При совпадении значений (связках) им присваивается средний ранг.
3. Вычислить сумму рангов для каждой выборки отдельно: R₁ и R₂.
4. Рассчитать U-статистику по формуле:

U = n₁ n₂ + (n₁ (n₁ + 1)) / 2 — R₁ или U = n₁ n₂ + (n₂ (n₂ + 1)) / 2 — R₂ (результат будет одинаковым, так как U₁ + U₂ = n₁ * n₂).

1. Выбрать наименьшее из двух значений U₁ и U₂. Это значение сравнивается с критическим значением U-критерия для заданного уровня значимости (α) и объёмов выборок.

Интерпретация

• Если полученное значение U меньше или равно критическому значению Uкр, нулевая гипотеза (H₀) о равенстве распределений двух выборок отвергается. Это означает, что различия между выборками статистически значимы.
• Если U больше Uкр, нулевая гипотеза не отвергается — различия считаются статистически незначимыми.

Область применения

U-критерий Манна — Уитни широко применяется в различных областях науки и практики, особенно в тех, где данные не подчиняются нормальному распределению или измерены в порядковой шкале.

Медицина и биология

• Сравнение эффективности двух методов лечения (например, время восстановления после операции при использовании разных препаратов).
• Анализ биомаркеров в группах здоровых и больных пациентов (например, уровень глюкозы в крови).
• Сравнение поведенческих реакций животных в разных экспериментальных условиях.

Психология и социология

• Оценка различий в уровне тревожности, интеллекта или удовлетворённости жизнью между двумя группами испытуемых (например, мужчины и женщины, студенты разных специальностей).
• Анализ результатов опросов, где ответы даны в порядковой шкале (например, от «полностью не согласен» до «полностью согласен»).

Экономика и маркетинг

• Сравнение доходов двух групп населения (например, жители города и села).
• Оценка эффективности рекламной кампании: сравнение объёмов продаж до и после кампании (при условии, что выборки независимы, например, разные регионы).
• Анализ предпочтений потребителей в двух ценовых сегментах.

Технические науки

• Сравнение показателей надёжности двух типов оборудования (например, время наработки на отказ).
• Оценка качества продукции, измеряемого в порядковой шкале (например, оценка дефектов по шкале от 1 до 5).

Ограничения и критика

Несмотря на широкое применение, U-критерий имеет ряд ограничений:

1. Нечувствительность к форме распределения. Критерий оценивает не разность средних, а стохастическое превосходство одной выборки над другой. Если распределения имеют одинаковую медиану, но разную дисперсию, критерий может не выявить различий.
2. Требование независимости выборок. Наблюдения в двух выборках должны быть независимы друг от друга. Для связанных выборок (например, «до» и «после» на одних и тех же испытуемых) применяется критерий Уилкоксона для парных сравнений.
3. Чувствительность к связкам (совпадающим значениям). При большом количестве совпадающих значений (например, в порядковых шкалах с малым числом градаций) точность критерия снижается. В таких случаях рекомендуется использовать поправку на связки или применять другие непараметрические методы (например, критерий Краскела — Уоллиса для нескольких групп).
4. Непараметрическая природа. Критерий не позволяет оценить величину эффекта в терминах разности средних. Для этого используются другие меры, например, d Коэна или r-критерий.

Сравнение с другими критериями

Пример использования

Допустим, исследователь хочет проверить, различается ли уровень стресса у студентов перед экзаменом (группа А) и после экзамена (группа Б). Выборки независимы (разные студенты). Уровень стресса измерен по шкале от 0 до 10 (порядковая шкала). Данные: группа А: 8, 7, 9, 6, 8; группа Б: 4, 5, 3, 6, 5.

1. Объединённый ряд: 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9. Ранги: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
2. Сумма рангов группы А (значения 8, 7, 9, 6, 8): 8+7+10+5+8 = 38.
3. Сумма рангов группы Б (значения 4, 5, 3, 6, 5): 2+4+1+5+3 = 15.
4. U₁ = 55 + (56)/2 — 38 = 25 + 15 — 38 = 2.
5. U₂ = 55 + (56)/2 — 15 = 25 + 15 — 15 = 25.
6. Наименьшее U = 2. Критическое значение для α=0,05 и n₁=n₂=5 равно 2. Поскольку U ≤ Uкр, нулевая гипотеза отвергается. Различия в уровне стресса статистически значимы.

Источники

1. Mann, H. B., & Whitney, D. R. (1947). On a Test of Whether one of Two Random Variables is Stochastically Larger than the Other. The Annals of Mathematical Statistics, 18(1), 50-60.
2. Wilcoxon, F. (1945). Individual Comparisons by Ranking Methods. Biometrics Bulletin, 1(6), 80-83.
3. Сидоренко, Е. В. (2000). Методы математической обработки в психологии. СПб.: Речь.
4. Гланц, С. (1999). Медико-биологическая статистика. М.: Практика.
5. Hollander, M., Wolfe, D. A., & Chicken, E. (2014). Nonparametric Statistical Methods (3rd ed.). Wiley.