Уравнение диффузии в математической физике¶

Уравнение диффузии — дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа, описывающее изменение концентрации (или иной скалярной величины) в пространстве и времени под действием процессов переноса. В одномерном случае оно имеет вид ∂u/∂t = D·∂²u/∂x², где u(x, t) — искомая функция (обычно концентрация, температура или плотность вероятности), а D — коэффициент диффузии. Уравнение относится к классу линейных параболических уравнений и является частным случаем уравнения теплопроводности.

¶Общая формулировка

В трёхмерном пространстве уравнение записывается как

∂u/∂t = D·Δu,

где Δ — оператор Лапласа. Величина D имеет размерность м²/с и характеризует скорость выравнивания неоднородностей. При наличии источников или стоков вещества в правую часть добавляется функция f(x, t), и уравнение становится неоднородным:

∂u/∂t = D·Δu + f.

Если коэффициент D зависит от координаты или от самой концентрации, уравнение называется квазилинейным; в этом случае его решения могут обладать качественно иными свойствами — например, конечной скоростью распространения возмущений.

¶Происхождение и связь с физикой

Уравнение выведено в первой половине XIX века на основе феноменологических законов. В 1822 году Жозеф Фурье сформулировал уравнение теплопроводности, описывающее распределение температуры. Несколько позже Адольф Фик установил закон, согласно которому поток вещества пропорционален градиенту концентрации: J = −D·∇u. Подстановка этого соотношения в уравнение баланса массы (уравнение непрерывности) ∂u/∂t + ∇·J = 0 непосредственно даёт уравнение диффузии. Аналогичным образом выводится уравнение теплопроводности из закона Фурье и уравнение для плотности вероятности в теории броуновского движения.

¶Начальные и граничные условия

Уравнение первого порядка по времени требует одного начального условия: u(x, 0) = u₀(x). По пространственным переменным порядок второй, поэтому необходимы граничные условия. Основные типы:

• Условие Дирихле — заданное значение функции на границе (например, фиксированная концентрация на поверхности).
• Условие Неймана — заданный поток через границу; в частности, нулевой поток означает отсутствие обмена со средой.
• Условие Робина — линейная комбинация значения и потока, описывающая конвективный теплообмен или проницаемую мембрану.

Корректно поставленная начально-краевая задача для параболического уравнения имеет единственное решение, причём оно бесконечно дифференцируемо при t > 0 даже при разрывных начальных данных (эффект мгновенного сглаживания).

¶Методы решения

Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами применяются классические аналитические методы.

Метод разделения переменных. Решение ищется в виде произведения функций, зависящих от времени и координат по отдельности. Для отрезка с однородными граничными условиями решение представляется рядом по собственным функциям оператора Лапласа, а временные множители убывают экспоненциально.

Фундаментальное решение. Для неограниченного пространства решение задачи с точечным начальным импульсом имеет вид гауссова распределения:

u(x, t) = (4πDt)^(−1/2)·exp(−x²/(4Dt)).

Это выражение показывает, что дисперсия распределения растёт линейно со временем, а амплитуда убывает как t^(−1/2) в одномерном случае. Общее решение получается свёрткой начального условия с фундаментальным решением.

Преобразование Фурье и Лапласа. Применяются для задач на бесконечной прямой и полупрямой, сводя уравнение в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно образа.

Численные методы. Для сложных областей и переменных коэффициентов используются конечно-разностные схемы (явная и неявная, схема Кранка — Николсона), метод конечных элементов и спектральные методы. Явная схема устойчива лишь при выполнении условия Куранта: D·Δt/Δx² ≤ 1/2.

¶Свойства решений

Решения уравнения диффузии обладают рядом характерных черт:

• Принцип максимума: максимальное и минимальное значения достигаются либо в начальный момент, либо на границе области; внутри области новых экстремумов не возникает.
• Необратимость: уравнение не инвариантно относительно замены t → −t; обратная задача, как правило, некорректна.
• Бесконечная скорость распространения: при D > 0 сколь угодно малое возмущение мгновенно сказывается на всём пространстве, хотя амплитуда экспоненциально мала. Это противоречие с физической конечностью скоростей устраняется в гиперболических моделях (например, в уравнении телеграфного типа).
• Сохранение массы: при нулевом потоке на границе интеграл от u по области остаётся постоянным.

¶Применение

Уравнение диффузии и его обобщения используются в широком круге задач.

В материаловедении уравнение описывает диффузионное насыщение поверхностных слоёв (цементация, азотирование), в гидрогеологии — миграцию загрязнений в подземных водах, в ядерной физике — замедление нейтронов. В России соответствующие задачи традиционно разрабатывались в рамках теории тепломассопереноса; значительный вклад внесли работы по теплопроводности и диффузии в пористых средах.

¶Обобщения

К нелинейным обобщениям относится уравнение с коэффициентом, зависящим от концентрации: ∂u/∂t = ∇·(D(u)∇u). Пример — уравнение пористой среды, описывающее фильтрацию газа. Дробные производные по времени и координате приводят к аномальной диффузии, наблюдаемой в неупорядоченных средах. Системы связанных уравнений диффузии применяются для описания реакции — диффузии и образования диссипативных структур.

Источники: Фурье Ж. «Аналитическая теория тепла»; Тихонов А. Н., Самарский А. А. «Уравнения математической физики»; Владимиров В. С. «Уравнения математической физики»; Крэнк Дж. «Математика диффузии»; материалы по уравнениям в частных производных.