Уравнение Лежандра¶

Уравнение Лежандра — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида \[ (1-x^2)y'' - 2xy' + \nu(\nu+1)y = 0, \] где \(\nu\) — действительный или комплексный параметр. Уравнение названо в честь французского математика Адриена Мари Лежандра, который исследовал его в связи с задачами небесной механики и теории потенциала в конце XVIII века. Уравнение возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах и является одним из фундаментальных уравнений математической физики.

¶Свойства и решения

¶Полиномы Лежандра

При целых неотрицательных значениях параметра \(\nu = n\) уравнение имеет полиномиальные решения — полиномы Лежандра \(P_n(x)\), определяемые формулой Родрига: \[ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n. \] Первые полиномы имеют вид:

• \(P_0(x) = 1\),
• \(P_1(x) = x\),
• \(P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)\),
• \(P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)\).

Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему на отрезке \([-1, 1]\) с весом 1: \[ \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) \, dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn}, \] где \(\delta_{mn}\) — символ Кронекера. Они нормированы условием \(P_n(1) = 1\).

¶Функции Лежандра второго рода

Для нецелых \(\nu\) или при \(\nu = n\) наряду с полиномами существуют линейно независимые решения — функции Лежандра второго рода \(Q_\nu(x)\). Они выражаются через гипергеометрическую функцию и имеют логарифмическую особенность при \(x \to \pm 1\). Общее решение уравнения записывается как \[ y(x) = C_1 P_\nu(x) + C_2 Q_\nu(x). \]

¶Присоединённые функции Лежандра

Обобщением уравнения Лежандра является присоединённое уравнение Лежандра: \[ (1-x^2)y'' - 2xy' + \left[\nu(\nu+1) - \frac{m^2}{1-x^2}\right]y = 0, \] где \(m\) — целое число. Его решения — присоединённые функции Лежандра \(P_\nu^m(x)\) и \(Q_\nu^m(x)\), связанные с обычными функциями соотношением: \[ P_\nu^m(x) = (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m}{dx^m} P_\nu(x). \] При целых \(\nu = n\) и \(|m| \le n\) присоединённые функции являются полиномами.

¶Применение

¶Сферические гармоники

Основное применение уравнение Лежандра находит в методе разделения переменных для уравнения Лапласа \(\Delta \Phi = 0\) в сферических координатах. Угловая часть решения представляется в виде сферических гармоник: \[ Y_{lm}(\theta, \varphi) = N_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\varphi}, \] где \(N_{lm}\) — нормировочная постоянная. Сферические гармоники используются в электростатике, гидродинамике, квантовой механике (волновые функции атома водорода), геодезии и теории гравитационного поля.

¶Квантовая механика

В квантовой механике уравнение Лежандра возникает при решении уравнения Шрёдингера для центрально-симметричных потенциалов. Орбитальное квантовое число \(l\) соответствует параметру \(\nu\), а магнитное квантовое число \(m\) — параметру присоединённого уравнения. Собственные функции оператора квадрата момента импульса выражаются через сферические гармоники.

¶Численные методы

Полиномы Лежандра используются в квадратурных формулах Гаусса — методе численного интегрирования, обеспечивающем точный результат для полиномов степени до \(2n-1\) при использовании \(n\) узлов. Узлы квадратуры Гаусса — корни полинома \(P_n(x)\).

¶Обобщения

Существуют обобщения уравнения Лежандра на случай комплексной плоскости, а также многомерные аналоги — полиномы Лежандра нескольких переменных. В теории специальных функций уравнение Лежандра рассматривается как частный случай гипергеометрического уравнения Гаусса.

¶Источники

• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. — М.: Наука, 1973.
• Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. — М.: Наука, 1984.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977.