Присоединённые функции Лежандра¶

Присоединённые функции Лежандра — класс специальных функций, являющихся решениями присоединённого уравнения Лежандра — обобщения обыкновенного уравнения Лежандра. Они широко применяются в математической физике, теории потенциала, квантовой механике и геодезии, в частности при решении уравнения Лапласа в сферических координатах.

Присоединённые функции Лежандра обозначаются \( P_l^m(x) \), где \( l \) — неотрицательное целое число (степень), а \( m \) — целое число, по модулю не превосходящее \( l \) (\( |m| \le l \)). Они определяются на интервале \( x \in [-1, 1] \) и являются полиномами, умноженными на степень \( (1-x^2)^{|m|/2} \).

¶Определение

Присоединённые функции Лежандра первого рода \( P_l^m(x) \) определяются через полиномы Лежандра \( P_l(x) \) по формуле:

\[ P_l^m(x) = (-1)^m (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m}{dx^m} P_l(x), \quad m \ge 0. \]

Для отрицательных значений \( m \) используется соотношение симметрии:

\[ P_l^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^m(x). \]

Множитель \( (-1)^m \) называется фазой Кондона — Шортли и принят в квантовой механике; в некоторых источниках (например, в геодезии) он опускается.

Присоединённые функции Лежандра второго рода \( Q_l^m(x) \) являются вторым линейно независимым решением присоединённого уравнения Лежандра и расходятся на концах интервала \( x = \pm 1 \). Они находят применение в задачах с внешними областями.

¶Присоединённое уравнение Лежандра

Присоединённые функции Лежандра удовлетворяют дифференциальному уравнению:

\[ (1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right] y = 0. \]

При \( m = 0 \) это уравнение сводится к обыкновенному уравнению Лежандра, а его решениями являются полиномы Лежандра \( P_l(x) \).

¶Свойства

¶Ортогональность

Присоединённые функции Лежандра первого рода ортогональны на отрезке \([-1, 1]\):

\[ \int_{-1}^{1} P_l^m(x) P_{l'}^m(x) \, dx = \frac{2}{2l+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \delta_{ll'}, \]

где \( \delta_{ll'} \) — символ Кронекера.

¶Нормировка

В сферических гармониках используется нормированная версия функций, удовлетворяющая условию:

\[ \int_{-1}^{1} \left[ \tilde{P}_l^m(x) \right]^2 \, dx = 1. \]

¶Рекуррентные соотношения

Для присоединённых функций Лежандра справедливы многочисленные рекуррентные формулы, например:

\[ (2l+1)x P_l^m(x) = (l+m) P_{l-1}^m(x) + (l-m+1) P_{l+1}^m(x), \]

\[ (2l+1) \sqrt{1-x^2} P_l^m(x) = P_{l+1}^{m+1}(x) - P_{l-1}^{m+1}(x). \]

¶Значения в особых точках

В точках \( x = \pm 1 \) присоединённые функции Лежандра обращаются в нуль при \( m \neq 0 \):

\[ P_l^m(\pm 1) = 0, \quad m > 0. \]

При \( m = 0 \) выполняется \( P_l(1) = 1 \) и \( P_l(-1) = (-1)^l \).

¶Связь со сферическими гармониками

Присоединённые функции Лежандра являются ключевым компонентом сферических гармоник:

\[ Y_l^m(\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta) e^{im\varphi}, \]

где \( \theta \) — полярный угол, \( \varphi \) — азимутальный угол. Сферические гармоники образуют полный ортонормированный базис на сфере и используются при разложении произвольных функций, заданных на сфере, в ряды.

¶Применение

¶Квантовая механика

В квантовой механике присоединённые функции Лежандра входят в решение уравнения Шрёдингера для водородоподобного атома. Угловая часть волновой функции электрона задаётся сферическими гармониками, а радиальная часть — связанными функциями Лагерра. Квантовые числа \( l \) (орбитальное) и \( m \) (магнитное) определяют форму и ориентацию электронного облака.

¶Теория потенциала и гравиметрия

При решении уравнения Лапласа в сферических координатах методом разделения переменных угловая зависимость решения выражается через присоединённые функции Лежандра. Это используется при вычислении гравитационного потенциала Земли, моделировании геоида и в спутниковой геодезии (разложение поля по сферическим гармоникам).

¶Электродинамика и акустика

В задачах рассеяния электромагнитных волн на сферических телах (теория Ми) и в акустике (излучение и дифракция звука) решения записываются через сферические функции Бесселя и присоединённые функции Лежандра.

¶Численные методы

Для вычисления присоединённых функций Лежандра разработаны устойчивые рекуррентные алгоритмы, учитывающие рост значений при больших \( l \) и \( m \). В программных пакетах (например, SciPy) реализованы функции lpmv и sph_harm для их расчёта.

¶Частные случаи

Приведём несколько первых присоединённых функций Лежандра:

• \( P_1^1(x) = -\sqrt{1-x^2} \)
• \( P_2^1(x) = -3x\sqrt{1-x^2} \)
• \( P_2^2(x) = 3(1-x^2) \)
• \( P_3^1(x) = -\frac{3}{2}(5x^2-1)\sqrt{1-x^2} \)
• \( P_3^2(x) = 15x(1-x^2) \)
• \( P_3^3(x) = -15(1-x^2)^{3/2} \)

¶Литература

• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. — М.: Наука, 1973.
• Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. — М.: Наука, 1984.
• Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.